Właściwości prawdopodobieństwa

Przez Benjamin Anderson 1 sierpnia, 2023 Prawdopodobieństwo 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśnimy, czym są właściwości prawdopodobieństwa, a ponadto będziesz mógł zobaczyć konkretny przykład każdej właściwości prawdopodobieństwa.

Jakie są właściwości prawdopodobieństwa?

Właściwości prawdopodobieństwa to:

Prawdopodobieństwo jednego zdarzenia jest równe jeden minus prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.
Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zawsze zerowe.
Jeżeli zdarzenie jest zawarte w innym zdarzeniu, prawdopodobieństwo pierwszego zdarzenia musi być mniejsze lub równe prawdopodobieństwu drugiego zdarzenia.
Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństwa wystąpienia każdego zdarzenia z osobna pomniejszonej o prawdopodobieństwo ich przecięcia.
Biorąc pod uwagę zbiór niezgodnych zdarzeń dwa na dwa, ich łączne prawdopodobieństwo oblicza się, dodając prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia.
Suma prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń elementarnych w przestrzeni próbki jest równa 1.

Jest to po prostu podsumowanie podstawowych właściwości prawdopodobieństwa. Poniżej znajduje się bardziej szczegółowe wyjaśnienie i rzeczywiste przykłady każdej właściwości.

Właściwość 1

Prawdopodobieństwo jednego zdarzenia jest równe jeden minus prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego. Dlatego suma prawdopodobieństwa jednego zdarzenia i prawdopodobieństwa jego zdarzenia przeciwnego jest równa 1.

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

Na przykład prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby 5 wynosi 0,167, ponieważ prawdopodobieństwo wyrzucenia dowolnej innej liczby możemy określić za pomocą tej właściwości probabilistycznej:

$P(5)=0,167$

$P(1, 2, 3, 4, 6)=1-P(5)=1-0,167=0,833$

Własność 2

Prawdopodobieństwo niemożliwego zdarzenia wynosi 0. Logicznie rzecz biorąc, jeśli określony wynik losowego eksperymentu nie może nastąpić, prawdopodobieństwo jego wystąpienia wynosi zero.

$P(\varnothing)=0$

Na przykład nie możemy uzyskać wyniku liczby 7 rzucając jedną kostką, więc prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi zero.

$P(7)=0$

Własność 3

Jeżeli zdarzenie jest zawarte w innym zdarzeniu, prawdopodobieństwo pierwszego zdarzenia musi być mniejsze lub równe prawdopodobieństwu drugiego zdarzenia.

Oczywiście, jeśli zdarzenie wchodzi w skład zbioru zdarzeń, prawdopodobieństwo wystąpienia pojedynczego zdarzenia nie może być większe niż prawdopodobieństwo wystąpienia całego zbioru.

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

Na przykład prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby 4 wynosi 0,167. Z drugiej strony prawdopodobieństwo otrzymania liczby parzystej (2, 4, 6) wynosi 0,50. Zatem ta właściwość teorii prawdopodobieństwa jest spełniona.

$P(4)=0,167$

$\begin{aligned}P(\text{n\'umero par})&=P(2)+P(4)+P(6)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=0,5\end{aligned}$

$P(4) <h3 class="wp-block-heading"><span class="ez-toc-section" id="propiedad-4"></span> Propriété 4<span class="ez-toc-section-end"></span></h3> <p> La probabilité d’union de deux événements est égale à la somme de la probabilité que chaque événement se produise séparément moins la probabilité de leur intersection. En théorie des probabilités, cette propriété est connue sous le nom de règle de somme et sa formule est la suivante :[latex]P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”107″ width=”2040″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> <p> Konkretne przykłady zastosowania tej właściwości można zobaczyć klikając tutaj: </p> <div style=$ ➤ Zobacz: Rozwiązany przykład reguły dodawania

Własność 5

Biorąc pod uwagę zbiór niezgodnych zdarzeń dwa na dwa, ich łączne prawdopodobieństwo można obliczyć, dodając prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia.

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

Na przykład różne wyniki rzutu kostką są zdarzeniami niezgodnymi, ponieważ jeśli wyrzucisz jedną liczbę, nie możesz uzyskać drugiej. Zatem, aby znaleźć prawdopodobieństwo otrzymania liczby nieparzystej, możemy dodać prawdopodobieństwo pojawienia się różnych liczb nieparzystych:

$\begin{aligned}P(\text{n\'umero impar})&=P(1\cup3\cup5)\\[2ex]&=P(1)+P(3)+P(5)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=0,5\end{aligned}$

Własność 6

Suma prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń elementarnych w przestrzeni próbki jest równa 1.

Oczywiście eksperyment losowy musi skutkować zdarzeniem elementarnym w przestrzeni próbki, zatem zdarzenie elementarne w przestrzeni próbki zawsze nastąpi, a zatem całkowite prawdopodobieństwo wystąpienia w przestrzeni próbki musi wynosić 100%.

$\Omega=\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$

$P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)=1$

Na przykład przestrzeń próbna do rzutu kostką wynosi Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, więc suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych wyników jest równa 1:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

$\begin{aligned}P(\Omega)&=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=1\end{aligned}$

Aksjomaty prawdopodobieństwa

Oprócz właściwości prawdopodobieństwa, które właśnie widzieliśmy, musimy pamiętać, że istnieją również aksjomaty prawdopodobieństwa, które są głównymi regułami definiującymi prawdopodobieństwa zdarzeń.

Zatem aksjomaty prawdopodobieństwa są następujące:

Aksjomat prawdopodobieństwa 1 : Prawdopodobieństwo zdarzenia nie może być ujemne.
Aksjomat prawdopodobieństwa 2 : Prawdopodobieństwo określonego zdarzenia wynosi 1.
Aksjomat prawdopodobieństwa 3 : Prawdopodobieństwo zbioru zdarzeń wykluczających jest równe sumie wszystkich prawdopodobieństw.

Więcej o aksjomatach prawdopodobieństwa i przykładach ich zastosowania możesz dowiedzieć się tutaj:

➤ Zobacz: Aksjomaty prawdopodobieństwa

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej