Prawo wielkich liczb

W tym artykule wyjaśniamy, czym jest prawo wielkich liczb i do czego jest wykorzystywane w prawdopodobieństwie i statystyce. Będziecie mogli zobaczyć także przykład zastosowania prawa wielkich liczb oraz dodatkowo jaki jest związek tego prawa z centralnym twierdzeniem granicznym.

Jakie jest prawo wielkich liczb?

W teorii prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb jest regułą opisującą wynik wykonania dużej liczby razy. Mówiąc dokładniej, prawo wielkich liczb mówi, że średnia wyników uzyskanych z dużej liczby prób będzie bliska wartości oczekiwanej.

Co więcej, zgodnie z prawem wielkich liczb, im więcej eksperymentów przeprowadzimy, tym wyniki będą bliższe wartości oczekiwanej.

Na przykład, jeśli rzucimy monetą pięć razy, możemy wyrzucić reszkę tylko raz (20%). Jeśli jednak monetą rzucisz kilka razy (ponad 1000 rzutów), prawie połowa wyników będzie reszką (50%), ponieważ jest to jej oczekiwana wartość. To jest przykład prawa wielkich liczb.

Pochodzenie prawa wielkich liczb można znaleźć w XVI wieku za czasów Gerolamo Cardano, jednak w rozwoju tego prawa statystycznego na przestrzeni dziejów uczestniczyło wielu autorów: Bernoulli, Poisson, Czebyszew, Markow, Borel, Cantelli, Kołmogorow i Chinchin.

Przykład prawa wielkich liczb

Po zapoznaniu się z definicją prawa wielkich liczb zobaczymy konkretny przykład, aby lepiej zrozumieć jego znaczenie. W tym przypadku przeanalizujemy prawdopodobieństwa możliwych wyników, które możemy uzyskać rzucając kostką.

Przy rzucie kostką istnieje sześć możliwych wyników (1, 2, 3, 4, 5 i 6), zatem teoretyczne prawdopodobieństwo każdego elementarnego zdarzenia wynosi:

Następnie przeprowadzimy kilka symulacji startu i zapiszemy wyniki w tabeli częstotliwości , aby sprawdzić, czy przestrzegane jest prawo wielkich liczb.

Abyś mógł zobaczyć, jak ważne jest liczba przeprowadzonych eksperymentów, najpierw przeprowadzimy symulację dziesięciu startów, potem stu, a na koniec tysiąca. Zatem wyniki uzyskane z symulacji 10 losowych rzutów kostką są następujące:

Jak widać, prawdopodobieństwa częstotliwości uzyskane poprzez symulację zaledwie dziesięciu rzutów nie przypominają prawdopodobieństw teoretycznych.

Jednak w miarę zwiększania liczby eksperymentów te dwa wskaźniki stają się coraz bardziej podobne. Spójrz na symulację 100 uruchomień:

Teraz prawdopodobieństwo częstotliwości obliczone dla każdej liczby na kostce jest bardziej zbliżone do prawdopodobieństwa teoretycznego, jednak nadal otrzymujemy bardzo różne wartości.

Na koniec wykonujemy tę samą procedurę, ale symulujemy 1000 uruchomień:

Jak widać w ostatniej tabeli, teraz wartości prawdopodobieństw częstotliwości są bardzo zbliżone do prawdopodobieństw teoretycznych.

Podsumowując, im bardziej zwiększamy liczbę przeprowadzanych eksperymentów, tym bardziej wartość prawdopodobieństwa częstotliwości zdarzenia zbliża się do teoretycznego prawdopodobieństwa wystąpienia. Dlatego przestrzegane jest prawo wielkich liczb , gdyż im więcej iteracji wykonamy, tym bardziej zbliżone są wartości eksperymentalne do wartości teoretycznych.

Ograniczenie prawa wielkich liczb

Prawo wielkich liczb obowiązuje w zdecydowanej większości przypadków, jednak niektóre typy rozkładów prawdopodobieństwa nie spełniają tego twierdzenia statystycznego.

Na przykład rozkład Cauchy’ego lub rozkład Pareto (α<1) nie są zbieżne wraz ze wzrostem liczby prób. Wynika to z dużych ogonów rozkładów, co oznacza, że nie mają one wartości oczekiwanej.

Z drugiej strony, niektóre eksperymenty są stronnicze ze względu na ich charakterystykę, w związku z czym badacz ma tendencję do modyfikowania wyników (celowo lub nie) w kierunku racjonalnym, psychologicznym, ekonomicznym itp. powodów. W takich przypadkach prawo wielkich liczb nie pomaga rozwiązać problemu błędu systematycznego, ale błąd ten będzie się utrzymywał niezależnie od zwiększenia liczby prób.

Prawo wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne

Prawo wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne to dwie ściśle powiązane podstawowe zasady prawdopodobieństwa i statystyki. W tej sekcji zobaczymy, jaki jest ich związek i jaka jest między nimi różnica.

Centralne twierdzenie graniczne, zwane także centralnym twierdzeniem granicznym, mówi, że rozkład średnich próby zbliża się do rozkładu normalnego w miarę wzrostu liczebności próby, niezależnie od rozkładu prawdopodobieństwa populacji.

Różnica między prawem wielkich liczb a centralnym twierdzeniem granicznym polega na tym, że prawo wielkich liczb mówi, że średnia z dużej liczby prób jest bliska wartości oczekiwanej, natomiast centralne twierdzenie graniczne mówi, że średnia z wielu próbki mają rozkład normalny.