Prawdopodobieństwo zbiegu zdarzeń

W tym artykule wyjaśniamy, jak obliczyć sumę prawdopodobieństwa zdarzeń. Dowiesz się więc, jaki jest wzór na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń, a ponadto dowiesz się ćwiczeń rozwiązywanych krok po kroku.

Czym jest zjednoczenie wydarzeń?

W teorii prawdopodobieństwa suma zdarzeń jest operacją zdarzeniową, której wynik składa się ze wszystkich elementarnych zdarzeń ze zbiorów operacji. Innymi słowy, połączenie dwóch zdarzeń A i B to zbiór zdarzeń występujących w A, w B lub w obu.

Połączenie dwóch zdarzeń wyrażane jest symbolem ⋃. Zatem sumę zdarzeń A i B zapisuje się jako A⋃B.

Na przykład w losowym eksperymencie polegającym na rzucie kostką, jeśli w jednym przypadku wyrzucona zostanie nieparzysta liczba A={1, 3, 5}, a w innym przypadku liczba mniejsza niż trzy B={1, 2}, suma tych dwóch zdarzenia to A⋃B={1, 2, 3, 5}.

Wzór na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Prawdopodobieństwo połączenia dwóch zdarzeń jest równe prawdopodobieństwu pierwszego zdarzenia plus prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia minus prawdopodobieństwo przecięcia się dwóch zdarzeń.

Innymi słowy, wzór na prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń to P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B).

Złoto:

• 

  jest prawdopodobieństwem sumy zdarzenia A i zdarzenia B.

• 

  jest prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia A.

• 

  jest prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia B.

• 

  jest prawdopodobieństwem przecięcia zdarzenia A i zdarzenia B.

Jeśli jednak te dwa zdarzenia są niezgodne, punkt przecięcia między nimi wynosi zero. Dlatego prawdopodobieństwo połączenia dwóch niezgodnych zdarzeń oblicza się, dodając prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia.

Rozwiązane przykłady prawdopodobieństwa sumy zdarzeń

Abyś mógł zobaczyć, jak obliczane jest prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń, zostawiamy poniżej dwa przykłady rozwiązane krok po kroku. Najpierw znajdziemy prawdopodobieństwo sumy dwóch niezgodnych zdarzeń, a następnie dwóch zgodnych zdarzeń, ponieważ obliczenia są nieco inne.

Prawdopodobieństwo sumy dwóch niezgodnych zdarzeń

• Do pudełka wkładamy 10 kul niebieskich, 6 kulek pomarańczowych i 4 kulki zielone. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę niebieską lub pomarańczową?

Ćwiczenie wymaga od nas określenia prawdopodobieństwa wystąpienia tego lub innego zdarzenia. Dlatego, aby rozwiązać problem, musimy skorzystać ze wzoru na sumę dwóch zdarzeń:

Zatem najpierw obliczamy prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia osobno, korzystając ze wzoru reguły Laplace’a :

Jednak w tym przypadku oba zdarzenia nie mogą wystąpić w tym samym czasie, ponieważ są to dwa zdarzenia niezgodne. Zatem jeśli wylosujemy niebieską kulę, nie będziemy już mogli wylosować pomarańczowej kuli i odwrotnie.

Zatem łączne prawdopodobieństwo obu zdarzeń wynosi zero i stąd wzór jest uproszczony:

Zatem obliczenie prawdopodobieństwa złapania piłki niebieskiej lub pomarańczowej jest następujące:

Krótko mówiąc, prawdopodobieństwo wyjęcia niebieskiej lub pomarańczowej kuli z pudełka wynosi 80%.

Prawdopodobieństwo sumy dwóch zgodnych zdarzeń

• Jeśli rzucimy monetą dwa razy, jakie jest prawdopodobieństwo, że w co najmniej jednym rzucie wypadnie reszka?

W tym przypadku zdarzenia są zgodne, ponieważ przy pierwszym rzucie możemy uzyskać „reszkę”, a przy drugim rzucie „reszkę”. Dlatego wzór na obliczenie prawdopodobieństwa splotu zdarzeń nie jest uproszczony i przedstawia się następująco:

Zatem najpierw musimy obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki w rzucie monetą, stosując regułę Laplace’a:

Obliczmy teraz prawdopodobieństwo przecięcia dwóch zdarzeń, korzystając ze wzoru na regułę mnożenia :

Na koniec, aby znaleźć prawdopodobieństwo, że orzeł spadnie w co najmniej jednym z dwóch rzutów, wystarczy podstawić wartości do wzoru i wykonać obliczenia:

Podsumowując, prawdopodobieństwo, że przy dwukrotnym rzucie monetą przynajmniej raz wypadnie reszka, wynosi 75%.

Właściwości sum zdarzeń

W teorii prawdopodobieństwa funkcjonowanie sumy zdarzeń spełnia następujące właściwości:

• Właściwość przemienna: kolejność zdarzeń w związku nie modyfikuje wyniku operacji.

• Właściwość asocjacyjna: sumę trzech zdarzeń można obliczyć w dowolnej kolejności, ponieważ wynik jest taki sam.

• Własność rozdzielcza: suma zdarzeń realizuje własność rozdzielczą wraz z przecięciem zdarzeń.