Wzory na prawdopodobieństwo

W tym artykule pokazano, czym są wzory na prawdopodobieństwo. W ten sposób znajdziesz wszystkie formuły teorii prawdopodobieństwa, a ponadto przykłady ich zastosowania.

Wzór reguły Laplace’a

Reguła Laplace’a, znana również jako prawo Laplace’a, to reguła używana do obliczania prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia.

Reguła Laplace’a mówi, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia jest równe liczbie korzystnych przypadków podzielonej przez całkowitą liczbę możliwych przypadków. Dlatego, aby obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, przypadki spełniające to zdarzenie należy podzielić przez liczbę możliwych wyników.

Zatem wzór na regułę Laplace’a jest następujący:

Wzór na zdarzenie odwrotne

Prawdopodobieństwo jednego zdarzenia jest równe jeden minus prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego. Innymi słowy, suma prawdopodobieństwa jednego zdarzenia i prawdopodobieństwa jego zdarzenia przeciwnego wynosi 1.

Na przykład prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby 5 wynosi 0,167, ponieważ prawdopodobieństwo wyrzucenia dowolnej innej liczby możemy określić za pomocą tej właściwości probabilistycznej:

Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo warunkowe, zwane także prawdopodobieństwem warunkowym, jest miarą statystyczną wskazującą prawdopodobieństwo, że zdarzenie A nastąpi, jeśli wystąpi inne zdarzenie B. Oznacza to, że prawdopodobieństwo warunkowe P(A|B) odnosi się do prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia A po wystąpieniu zdarzenia B.

Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A dla danego zdarzenia B jest równe prawdopodobieństwu przecięcia zdarzenia A i zdarzenia B podzielonemu przez prawdopodobieństwo zdarzenia B. Zatem wzór na prawdopodobieństwo warunkowe jest następujący:

Wzór na sumę zdarzeń

Suma dwóch zdarzeń A i B to zbiór zdarzeń występujących w A, w B lub w obu. Sumę dwóch zdarzeń wyraża się symbolem ⋃, zatem sumę zdarzeń A i B zapisuje się jako A⋃B.

Prawdopodobieństwo połączenia dwóch zdarzeń jest równe prawdopodobieństwu pierwszego zdarzenia plus prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia minus prawdopodobieństwo przecięcia się zdarzeń.

Innymi słowy, wzór na prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń to P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B).

Jeśli jednak te dwa zdarzenia są niezgodne, punkt przecięcia między nimi wynosi zero. Dlatego prawdopodobieństwo połączenia dwóch niezgodnych zdarzeń oblicza się, dodając prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia.

Wzór na przecięcie zdarzeń

Przecięcie zdarzeń A i B tworzą wszystkie zdarzenia należące jednocześnie do A i B, co wyraża się symbolem ⋂. Zatem przecięcie zdarzeń A i B zapisuje się jako A⋂B.

Prawdopodobieństwo przecięcia się dwóch zdarzeń jest równe prawdopodobieństwu wystąpienia jednego zdarzenia pomnożonemu przez prawdopodobieństwo warunkowe wystąpienia drugiego zdarzenia, przy uwzględnieniu pierwszego zdarzenia.

Zatem wzór na prawdopodobieństwo przecięcia dwóch zdarzeń to P(A⋂B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B).

Jeżeli jednak te dwa zdarzenia są niezależne, oznacza to, że prawdopodobieństwo wystąpienia jednego zdarzenia nie zależy od tego, czy zajdzie drugie zdarzenie. Zatem wzór na prawdopodobieństwo przecięcia dwóch niezależnych zdarzeń jest następujący:

Wzór na różnicę zdarzeń

Różnica prawdopodobieństwa między dwoma zdarzeniami odnosi się do prawdopodobieństwa wystąpienia jednego zdarzenia bez drugiego zdarzenia w tym samym czasie.

Zatem prawdopodobieństwo różnicy sukcesów AB jest równe prawdopodobieństwu sukcesu A pomniejszonemu o prawdopodobieństwo przecięcia się sukcesu A i sukcesu B. Zatem wzór na prawdopodobieństwo różnicy sukcesów jest następujący:

Wzór na twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym jest prawem umożliwiającym obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia niebędącego częścią przestrzeni próbnej na podstawie prawdopodobieństw warunkowych wszystkich zdarzeń w tej przestrzeni próbnej.

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym mówi, że biorąc pod uwagę zbiór zdarzeń {A ₁ , A ₂ ,…, A _n } tworzących podział przestrzeni próbek, prawdopodobieństwo zdarzenia B jest równe sumie iloczynów prawdopodobieństwa każdego zdarzenie P(A _i ) przez prawdopodobieństwo warunkowe P(B|A _i ).

Zatem wzór na twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym wygląda następująco:

Wzór twierdzenia Bayesa

W teorii prawdopodobieństwa twierdzenie Bayesa jest prawem używanym do obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia, gdy znana jest a priori informacja o tym zdarzeniu.

Twierdzenie Bayesa mówi, że mając przestrzeń próbki utworzoną przez zbiór wzajemnie wykluczających się zdarzeń {A ₁ , A ₂ ,…, A _i ,…, _An }, których prawdopodobieństwa nie są równe zero, oraz inne zdarzenie B, możemy matematycznie powiązać warunek prawdopodobieństwo A _i, biorąc pod uwagę zdarzenie B, z prawdopodobieństwem warunkowym B, biorąc pod uwagę A _i .

Zatem wzór na twierdzenie Bayesa jest następujący:

Tabela podsumowująca wszystkie formuły prawdopodobieństwa

Na koniec zostawiamy tabelę ze wszystkimi formułami prawdopodobieństwa jako podsumowanie.