Teoria prawdopodobieństwa

Przez 1 sierpnia, 2023 Prawdopodobieństwo 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym jest teoria prawdopodobieństwa i do czego się ją wykorzystuje. Znajdziesz więc podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa, a także właściwości i prawa teorii prawdopodobieństwa.

Co to jest teoria prawdopodobieństwa?

Teoria prawdopodobieństwa to zbiór reguł i właściwości używanych do obliczania prawdopodobieństwa zjawiska losowego. Zatem teoria prawdopodobieństwa pozwala nam wiedzieć, który wynik losowego eksperymentu ma największe prawdopodobieństwo wystąpienia.

Należy pamiętać, że zjawisko losowe to wynik, który można uzyskać w wyniku eksperymentu, którego wyniku nie można przewidzieć, ale zależy od przypadku. Teoria prawdopodobieństwa jest zatem zbiorem praw, które pozwalają określić prawdopodobieństwo wystąpienia zjawiska losowego.

Na przykład, rzucając monetą, możemy uzyskać dwa możliwe wyniki: orzeł lub reszka. Cóż, możemy użyć teorii prawdopodobieństwa, aby obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia orła, które w tym przypadku wynosi 50%.

Na przestrzeni dziejów do rozwoju teorii prawdopodobieństwa przyczyniło się wiele osób, wśród których wyróżniają się Cardano, Laplace, Gauss i Kołmogorow.

Podstawy teorii prawdopodobieństwa

Przykładowa przestrzeń

W teorii prawdopodobieństwa przestrzeń próbki to zbiór wszystkich możliwych wyników losowego eksperymentu.

Symbolem przestrzeni próbki jest wielka grecka litera Omega (Ω), chociaż może być również reprezentowana przez wielką literę E.

Na przykład przykładowa przestrzeń do rzucenia kostką to:

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}

Wydarzenie

W teorii prawdopodobieństwa wydarzeniem (lub wystąpieniem) jest każdy możliwy wynik losowego eksperymentu. Dlatego prawdopodobieństwo zdarzenia jest wartością wskazującą prawdopodobieństwo wystąpienia wyniku.

Na przykład w rzucie monetą występują dwa zdarzenia: „reszka” i „reszka”.

Istnieją różne typy wydarzeń:

  • Zdarzenie elementarne (lub zdarzenie proste): każdy z możliwych wyników eksperymentu.
  • Zdarzenie złożone: jest to podzbiór przestrzeni próbki.
  • Pewne wydarzenie: Jest to wynik losowego doświadczenia, które zawsze będzie miało miejsce.
  • Zdarzenie niemożliwe: Jest to wynik losowego eksperymentu, który nigdy nie nastąpi.
  • Zdarzenia kompatybilne: dwa zdarzenia są kompatybilne, jeśli mają wspólne zdarzenie elementarne.
  • Niekompatybilne zdarzenia: dwa zdarzenia są niezgodne, jeśli nie mają wspólnego żadnego zdarzenia elementarnego.
  • Niezależne zdarzenia: Dwa zdarzenia są niezależne, jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia jednego nie wpływa na prawdopodobieństwo drugiego.
  • Zdarzenia zależne: Dwa zdarzenia są zależne, jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia jednego zmienia prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego.
  • Zdarzenie przeciwne drugiemu: zdarzenie, które ma miejsce, gdy inne zdarzenie nie zachodzi.
➤ Zobacz: Rodzaje wydarzeń

Aksjomaty prawdopodobieństwa

Aksjomaty prawdopodobieństwa to:

  1. Aksjomat prawdopodobieństwa 1 : Prawdopodobieństwo zdarzenia nie może być ujemne.

    2. 0\leq P(A)\leq 1

  2. Aksjomat prawdopodobieństwa 2 : Prawdopodobieństwo określonego zdarzenia wynosi 1.

    3. P(\Omega)=1

  3. Aksjomat prawdopodobieństwa 3 : Prawdopodobieństwo zbioru niezgodnych zdarzeń jest równe sumie wszystkich prawdopodobieństw.

    4. A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Właściwości prawdopodobieństwa

Właściwości prawdopodobieństwa to:

  1. Prawdopodobieństwo jednego zdarzenia jest równe jeden minus prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.

    2. P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)

  2. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zawsze zerowe.

    3. P(\varnothing)=0

  3. Jeżeli zdarzenie jest zawarte w innym zdarzeniu, prawdopodobieństwo pierwszego zdarzenia musi być mniejsze lub równe prawdopodobieństwu drugiego zdarzenia.

    4. A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)

  4. Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństwa wystąpienia każdego zdarzenia z osobna pomniejszonej o prawdopodobieństwo ich przecięcia.

    5. P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

  5. Biorąc pod uwagę zbiór niezgodnych zdarzeń dwa na dwa, ich łączne prawdopodobieństwo oblicza się, dodając prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia.

    6. P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)

  6. Suma prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń elementarnych w przestrzeni próbki jest równa 1.

    7. \Omega=\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}

    P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)=1

Reguły prawdopodobieństwa

Reguła Laplace’a

Reguła Laplace’a to reguła probabilistyczna używana do obliczania prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w przestrzeni próbki.

Mówiąc dokładniej, reguła Laplace’a mówi, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia jest równe liczbie korzystnych przypadków podzielonej przez całkowitą liczbę możliwych przypadków. Wzór na regułę Laplace’a jest zatem następujący:

P(A)=\cfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}

Na przykład, jeśli włożymy do worka 5 zielonych, 4 niebieskie i 2 żółte kule, prawdopodobieństwo wylosowania zielonej kuli możemy obliczyć, korzystając z reguły Laplace’a:

P(\text{bola verde})=\cfrac{5}{5+4+2}=0,45

reguła sumy

W teorii prawdopodobieństwa reguła sumy (lub zasada dodawania) mówi, że suma prawdopodobieństw dwóch zdarzeń jest równa sumie prawdopodobieństwa wystąpienia każdego zdarzenia osobno pomniejszonej o prawdopodobieństwo wystąpienia obu zdarzeń w tym samym czasie. czas. .

Zatem wzór na regułę dodawania jest następujący:

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Rozwiązane ćwiczenia krok po kroku dotyczące stosowania zasady dodawania można zobaczyć pod następującym linkiem:

reguła mnożenia

Reguła mnożenia (lub zasada iloczynu) mówi, że łączne prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa wystąpienia każdego zdarzenia.

Wzór na regułę mnożenia jest zatem następujący:

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

Jednak wzór na regułę mnożenia różni się w zależności od tego, czy zdarzenia są niezależne, czy zależne. Jak wygląda wzór na regułę mnożenia zdarzeń zależnych oraz przykłady zastosowania tej reguły możesz zobaczyć klikając tutaj:

o autorze

Benjamin Anderson
Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *