Jak obliczyć przedziały ufności: 3 przykładowe problemy

Przedział ufności dla średniej to zakres wartości, który prawdopodobnie będzie zawierał średnią populacji przy pewnym poziomie ufności.

Do obliczenia przedziału ufności dla średniej używamy następującego wzoru:

Przedział ufności = x +/- t*(s/√ n )

Złoto:

• x : średnia próbki
• t: wartość krytyczna t
• s: odchylenie standardowe próbki
• n: wielkość próbki

Uwaga : We wzorze wartość krytyczną zastępujemy wartością krytyczną az, jeśli znane jest odchylenie standardowe populacji (σ) , a wielkość próby jest większa niż 30.

Poniższe przykłady pokazują, jak skonstruować przedział ufności dla średniej w trzech różnych scenariuszach:

• Odchylenie standardowe populacji (σ) jest nieznane
• Odchylenie standardowe populacji (σ) jest znane, ale n ≤ 30
• Odchylenie standardowe populacji (σ) jest znane i n > 30

Chodźmy!

Przykład 1: przedział ufności, gdy σ jest nieznane

Załóżmy, że chcemy obliczyć 95% przedział ufności dla średniej wysokości (w calach) określonego gatunku rośliny.

Załóżmy, że zbieramy prostą próbkę losową zawierającą następujące informacje:

• średnia próbki ( x ) = 12
• wielkość próby (n) = 19
• odchylenie standardowe próbki (s) = 6,3

Do skonstruowania tego przedziału ufności możemy użyć następującego wzoru:

• 95% CI = x +/- t*(s/√ n )
• 95% CI = 12 +/- t _{n-1, α/2} *(6,3/√ 19 )
• 95% CI = 12 +/- t _18,025 *(6,3/√ 19 )
• 95% CI = 12 +/- 2,1009*(6,3/√ 19 )
• 95% CI = (8964; 15037)

95% przedział ufności dla średniego wzrostu populacji tego konkretnego gatunku roślin wynosi (8,964 cala, 15,037 cala) .

Uwaga nr 1 : Użyliśmy kalkulatora odwrotnego rozkładu t, aby znaleźć krytyczną wartość t związaną z 18 stopniami swobody i poziomem ufności 0,95.

Uwaga #2 : Ponieważ odchylenie standardowe populacji (σ) jest nieznane, przy obliczaniu przedziału ufności użyliśmy wartości krytycznej t.

Przykład 2: Przedział ufności, gdy σ jest znane, ale n ≤ 30

Załóżmy, że chcemy obliczyć 99% przedział ufności dla średniego wyniku z określonego egzaminu wstępnego na studia.

Załóżmy, że zbieramy prostą próbkę losową zawierającą następujące informacje:

• średnia próbki ( x ) = 85
• wielkość próby (n) = 25
• odchylenie standardowe populacji (σ) = 3,5

Do skonstruowania tego przedziału ufności możemy użyć następującego wzoru:

• 99% CI = x +/- t*(s/√ n )
• 99% CI = 85 +/- t _{n-1, α/2} *(3,5/√ 25 )
• 99% CI = 85 +/- t _24,005 *(3,5/√ 25 )
• 99% CI = 85 +/- 2,7969*(3,5/√ 25 )
• 99% CI = (83,042; 86,958)

99% przedział ufności dla średniego wyniku populacji na egzaminie wstępnym na studia wynosi (83,042, 86,958) .

Uwaga nr 1 : Użyliśmy kalkulatora odwrotnego rozkładu t, aby znaleźć krytyczną wartość t związaną z 24 stopniami swobody i poziomem ufności 0,99.

Uwaga nr 2 : Ponieważ odchylenie standardowe populacji (σ) było znane, ale wielkość próby (n) była mniejsza niż 30, przy obliczaniu przedziału ufności użyliśmy wartości krytycznej t.

Przykład 3: Przedział ufności, gdy znane jest σ i n > 30

Załóżmy, że chcemy obliczyć 90% przedział ufności dla średniej masy określonego gatunku żółwia.

Załóżmy, że zbieramy prostą próbkę losową zawierającą następujące informacje:

• średnia próbki ( x ) = 300
• wielkość próby (n) = 40
• odchylenie standardowe populacji (σ) = 15

Do skonstruowania tego przedziału ufności możemy użyć następującego wzoru:

• 90% CI = x +/- z*(σ/√ n )
• 90% CI = 300 +/- 1,645*(15/√ 40 )
• 90% CI = (296 099, 303 901)

90% przedział ufności dla średniej masy populacji tego konkretnego gatunku żółwi wynosi (83,042, 86,958) .

Uwaga nr 1 : Użyliśmy kalkulatora krytycznej wartości Z, aby znaleźć krytyczną wartość z powiązaną z poziomem istotności 0,1.

Uwaga nr 2 : Ponieważ znane było odchylenie standardowe populacji (σ), a wielkość próby (n) była większa niż 30, przy obliczaniu przedziału ufności użyliśmy wartości krytycznej z.

Dodatkowe zasoby

Poniższe samouczki zawierają dodatkowe informacje na temat przedziałów ufności:

4 Przykłady przedziałów ufności w prawdziwym życiu
Jak napisać wniosek dotyczący przedziału ufności
6 hipotez dotyczących przedziału ufności do sprawdzenia