Jak utworzyć przedział ufności za pomocą rozkładu f

Aby ustalić, czy wariancje dwóch populacji są równe, możemy obliczyć współczynnik wariancji σ ² ₁ / σ ² ₂ , gdzie σ ² ₁ jest wariancją populacji 1, a σ ² ₂ jest wariancją populacji 2.

Aby oszacować prawdziwy współczynnik wariancji populacji, zazwyczaj bierzemy prostą próbkę losową z każdej populacji i obliczamy współczynnik wariancji próbki, s ₁ ² / s ₂ ² , gdzie s ₁ ² i s ₂ ² są wariancjami próbki dla próbki 1 i próbki . 2, odpowiednio.

W tym teście założono, że s ₁ ² i s ₂ ² oblicza się na podstawie niezależnych próbek o wielkości n ₁ i n ₂ , obie z populacji o rozkładzie normalnym.

Im dalej ten stosunek jest od jedności, tym silniejszy dowód na nierówne wariancje w obrębie populacji.

Przedział ufności (1-α)100% dla σ ² ₁ / σ ² ₂ definiuje się jako:

(s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n 1 -1, n 2 -1, α/2} ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n 2 -1, n 1-1 , α/2}

gdzie F _{n 2 -1, n 1 -1, α/2} i F _{n 1 -1, n 2 -1, α/2}   są wartościami krytycznymi rozkładu F dla wybranego poziomu istotności α.

Poniższe przykłady ilustrują, jak utworzyć przedział ufności dla σ ² ₁ / σ ² ₂ przy użyciu trzech różnych metod:

• Za rękę
• Skorzystaj z Microsoft Excela
• Korzystanie z oprogramowania statystycznego R

W każdym z poniższych przykładów wykorzystamy następujące informacje:

• α = 0,05
• n ₁ = 16
• _n2 = 11
• s ₁ ² = 28,2
• s ₂ ² = 19,3

Ręczne tworzenie przedziału ufności

Aby ręcznie obliczyć przedział ufności dla σ ² ₁ / σ ² ₂ , po prostu podstawiamy otrzymane liczby do wzoru na przedział ufności:

(s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n1-1, n2-1,α/2} ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n2-1, n1-1, α/2}

Jedyne liczby, których nam brakuje, to wartości krytyczne. Na szczęście możemy zlokalizować te wartości krytyczne w tablicy rozkładu F :

F _{n2-1, n1-1, α/2} = F _{10, 15, 0,025} = 3,0602

F _{n1-1, n2-1, α/2} = 1/ F _{15, 10, 0,025} = 1 / 3,5217 = 0,2839

(Kliknij, aby powiększyć tabelę)

Możemy teraz podłączyć wszystkie liczby do przedziału wzoru ufności:

(s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n1-1, n2-1,α/2} ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n2-1, n1-1, α/2}

(28,2 / 19,3) * (0,2839) ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (28,2 / 19,3) * (3,0602)

0,4148 ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ 4,4714

Zatem 95% przedział ufności dla stosunku wariancji populacji wynosi (0,4148; 4,4714) .

Tworzenie przedziału ufności za pomocą programu Excel

Poniższy obraz pokazuje, jak obliczyć 95% przedział ufności dla współczynnika wariancji populacji w programie Excel. Dolne i górne granice przedziału ufności pokazano w kolumnie E, a wzór na znalezienie dolnej i górnej granicy pokazano w kolumnie F:

Zatem 95% przedział ufności dla stosunku wariancji populacji wynosi (0,4148; 4,4714) . Odpowiada to temu, co otrzymaliśmy, gdy ręcznie obliczyliśmy przedział ufności.

Tworzenie przedziału ufności za pomocą R

Poniższy kod ilustruje sposób obliczenia 95% przedziału ufności dla stosunku wariancji populacji w R:

 #define significance level, sample sizes, and sample variances
alpha <- .05
n1 <- 16
n2 <- 11
var1 <- 28.2
var2 <- 19.3

#define F critical values
upper_crit <- 1/qf(alpha/2, n1-1, n2-1)
lower_crit <- qf(alpha/2, n2-1, n1-1)

#find confidence interval
lower_bound <- (var1/var2) * lower_crit
upper_bound <- (var1/var2) * upper_crit

#output confidence interval
paste0("(", lower_bound, ", ", upper_bound, " )")

#[1] "(0.414899337980266, 4.47137571035219 )"

Zatem 95% przedział ufności dla stosunku wariancji populacji wynosi (0,4148; 4,4714) . Odpowiada to temu, co otrzymaliśmy, gdy ręcznie obliczyliśmy przedział ufności.

Dodatkowe zasoby

Jak czytać tablicę rozdzielczą F
Jak znaleźć wartość krytyczną F w Excelu