Przedział ufności dla jednego odchylenia standardowego

Przedział ufności dla odchylenia standardowego to zakres wartości, który prawdopodobnie będzie zawierał odchylenie standardowe populacji przy pewnym poziomie ufności.

W tym samouczku wyjaśniono następujące kwestie:

• Motywacja do utworzenia tego przedziału ufności.
• Wzór do utworzenia tego przedziału ufności.
• Przykład obliczenia tego przedziału ufności.
• Jak interpretować ten przedział ufności.

Przedział ufności dla jednego odchylenia standardowego: motywacja

Powodem, dla którego tworzymy przedział ufności dla odchylenia standardowego, jest to, że chcemy uchwycić naszą niepewność podczas szacowania odchylenia standardowego populacji.

Załóżmy na przykład, że chcemy oszacować odchylenie standardowe masy określonego gatunku żółwia na Florydzie. Ponieważ na Florydzie żyją tysiące żółwi, obchodzenie i ważenie każdego żółwia z osobna byłoby niezwykle czasochłonne i kosztowne.

Zamiast tego moglibyśmy pobrać prostą losową próbkę składającą się z 50 żółwi i wykorzystać odchylenie standardowe masy żółwi w tej próbie do oszacowania prawdziwego odchylenia standardowego populacji:

Problem polega na tym, że nie ma gwarancji, że odchylenie standardowe próbki dokładnie odpowiada odchyleniu standardowemu całej populacji. Aby więc uchwycić tę niepewność, możemy utworzyć przedział ufności zawierający zakres wartości, które prawdopodobnie będą zawierać prawdziwe odchylenie standardowe populacji.

Przedział ufności dla jednego odchylenia standardowego: wzór

Do obliczenia przedziału ufności dla średniej używamy następującego wzoru:

Przedział ufności = [√(n-1)s ² /X ² _α/2 , √(n-1)s ² /X ² _1-α/2 ]

Złoto:

• n: wielkość próbki
• s: odchylenie standardowe próbki
• X ² : Krytyczna wartość Chi kwadratu z n-1 stopniami swobody.

Przedział ufności dla odchylenia standardowego: przykład

Załóżmy, że zbieramy losową próbkę żółwi z następującymi informacjami:

• Wielkość próby n = 27
• Próbka odchylenie standardowe s = 6,43

Oto jak znaleźć różne przedziały ufności dla odchylenia standardowego prawdziwej populacji:

90% przedział ufności: [ √ (27-1)*6,43 ² /38,885, √ (27-1)*6,43 ^{2 /} 15,379) = [5,258, 8,361]

95% przedział ufności: [ √ (27-1)*6,43 ² /41,923, √ (27-1)*6,43 ^{2 /} 13,844) = [5,064, 8,812]

99% przedział ufności: [ √ (27-1)*6,43 ² /48,289, √ (27-1)*6,43 ^{2 /} 11,160) = [4,718, 9,814]

Uwaga: te przedziały ufności można także znaleźć, korzystając z przedziału ufności dla kalkulatora odchylenia standardowego .

Przedział ufności dla jednego odchylenia standardowego: interpretacja

Sposób, w jaki interpretujemy przedział ufności, wygląda następująco:

Istnieje 95% szans, że przedział ufności [5,064, 8,812] zawiera prawdziwe odchylenie standardowe populacji.

Innym sposobem powiedzenia tego samego jest stwierdzenie, że istnieje tylko 5% szans, że prawdziwe odchylenie standardowe populacji leży poza 95% przedziałem ufności. Oznacza to, że istnieje tylko 5% szans, że prawdziwe odchylenie standardowe populacji będzie większe niż 8812 lub mniejsze niż 5064.