Wprowadzenie do rozkładu hipergeometrycznego

Rozkład hipergeometryczny opisuje prawdopodobieństwo wybrania k obiektów o określonej charakterystyce w n losowaniach bez zastępowania, ze skończonej populacji o rozmiarze N zawierającej K obiektów o tej charakterystyce.

Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład hipergeometryczny, to prawdopodobieństwo wybrania k obiektów o określonej charakterystyce można obliczyć ze wzoru:

P(X=k) = _K do _k ( _NK C _nk ) / _N do _n

Złoto:

• N: wielkość populacji
• K: liczba obiektów w populacji o określonej charakterystyce
• n: wielkość próbki
• k: liczba obiektów w próbce o określonej funkcjonalności
• _K C _k : liczba kombinacji K rzeczy pobieranych k na raz

Na przykład w standardowej talii 52 kart znajdują się 4 królowe. Załóżmy, że losowo wybieramy kartę z talii, a następnie bez zwracania losowo wybieramy inną kartę z talii. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie karty to damy?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, możemy skorzystać z rozkładu hipergeometrycznego z następującymi parametrami:

• N: wielkość populacji = 52 karty
• K: liczba obiektów w populacji o określonej charakterystyce = 4 matki
• n: wielkość próby = 2 losowania
• k: liczba obiektów w próbie o określonej charakterystyce = 2 królowe

Podstawiając te liczby do wzoru, stwierdzamy, że prawdopodobieństwo wynosi:

P(X=2) = _K. do _k ( _NK C _nk ) / _N do _n = ₄ do ₂ ( _52-4 do _2-2 ) / ₅₂ do ₂ = 6*1/ 1326 = 0,00452 .

To powinno mieć sens intuicyjnie. Jeśli wyobrazisz sobie, że dobierasz dwie karty z talii, jedną po drugiej, prawdopodobieństwo, że obie karty są damami, powinno być bardzo niskie.

Własności rozkładu hipergeometrycznego

Rozkład hipergeometryczny ma następujące właściwości:

Średnia rozkładu wynosi (nK) / N

Wariancja rozkładu wynosi (nK)(NK)(Nn) / (N ² (n-1))

Problemy praktyki rozkładu hipergeometrycznego

Skorzystaj z poniższych problemów praktycznych, aby sprawdzić swoją wiedzę na temat rozkładu hipergeometrycznego.

Uwaga: Do obliczenia odpowiedzi na te pytania użyjemy kalkulatora rozkładu hipergeometrycznego .

Problem 1

Pytanie: Załóżmy, że losowo wybieramy cztery karty z talii, nie wymieniając ich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwie z kart to damy?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, możemy skorzystać z rozkładu hipergeometrycznego z następującymi parametrami:

• N: wielkość populacji = 52 karty
• K: liczba obiektów w populacji o określonej charakterystyce = 4 matki
• n: wielkość próby = 4 losowania
• k: liczba obiektów w próbie o określonej charakterystyce = 2 królowe

Podstawiając te liczby do kalkulatora rozkładu hipergeometrycznego, stwierdzamy, że prawdopodobieństwo wynosi 0,025 .

Problem 2

Pytanie: W urnie znajdują się 3 kule czerwone i 5 kul zielonych. Losowo wybierasz 4 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierzesz dokładnie 2 czerwone kule?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, możemy skorzystać z rozkładu hipergeometrycznego z następującymi parametrami:

• N: wielkość populacji = 8 kulek
• K: liczba obiektów w populacji o określonej charakterystyce = 3 czerwone kule
• n: wielkość próby = 4 losowania
• k: liczba obiektów w próbce o określonej charakterystyce = 2 czerwone kule

Podstawiając te liczby do kalkulatora rozkładu hipergeometrycznego, stwierdzamy, że prawdopodobieństwo wynosi 0,42857 .

Problem 3

Pytanie: W koszyku znajduje się 7 fioletowych i 3 różowe kulki. Losowo wybierasz 6 kulek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierzesz dokładnie 3 różowe kulki?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, możemy skorzystać z rozkładu hipergeometrycznego z następującymi parametrami:

• N: wielkość populacji = 10 kulek
• K: liczba obiektów w populacji o określonej charakterystyce = 3 różowe kulki
• n: wielkość próby = 6 losowań
• k: liczba obiektów w próbce o określonej charakterystyce = 3 różowe kulki

Podstawiając te liczby do kalkulatora rozkładu hipergeometrycznego, stwierdzamy, że prawdopodobieństwo wynosi 0,16667 .