Wprowadzenie do ujemnego rozkładu dwumianowego

Ujemny rozkład dwumianowy opisuje prawdopodobieństwo wystąpienia określonej liczby niepowodzeń przed osiągnięciem określonej liczby sukcesów w serii prób Bernoulliego.

Próba Bernoulliego to eksperyment, w którym możliwe są tylko dwa wyniki – „sukces” lub „porażka”, a prawdopodobieństwo sukcesu jest takie samo za każdym razem, gdy eksperyment jest przeprowadzany.

Przykładem eseju Bernoulliego jest rzut monetą. Moneta może wylądować tylko na dwóch orłach (możemy nazwać orzeł „trafieniem”, a reszkę „porażką”), a prawdopodobieństwo powodzenia w każdym rzucie wynosi 0,5, zakładając, że moneta jest uczciwa.

Jeśli zmienna losowa _

P(X=k) = _k+r-1 C _k * (1-p) ^r *p ^k

Złoto:

• k: liczba awarii
• r: liczba sukcesów
• p: prawdopodobieństwo sukcesu w danej próbie
• _k+r-1 C _k : liczba kombinacji (k+r-1) rzeczy pobieranych k na raz

Załóżmy na przykład, że rzucamy monetą i definiujemy „udane” wydarzenie jako lądowanie na orle. Jakie jest prawdopodobieństwo, że doświadczysz 6 porażek, zanim odniesiesz w sumie 4 sukcesy?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, możemy użyć ujemnego rozkładu dwumianowego z następującymi parametrami:

• k: liczba awarii = 6
• r: liczba sukcesów = 4
• p: prawdopodobieństwo sukcesu w danej próbie = 0,5

Podstawiając te liczby do wzoru, stwierdzamy, że prawdopodobieństwo wynosi:

P(X=6 awarii) = _6+4-1 C ₆ * (1-.5) ⁴ *(.5) ⁶ = (84)*(.0625)*(.015625) = 0.08203 .

Własności ujemnego rozkładu dwumianowego

Ujemny rozkład dwumianowy ma następujące właściwości:

Średnia liczba niepowodzeń, których się spodziewamy, zanim osiągniemy r sukcesów, wynosi pr/(1-p) .

Wariancja liczby niepowodzeń oczekiwanych przed uzyskaniem r sukcesów wynosi pr / (1-p) ² .

Załóżmy na przykład, że rzucamy monetą i definiujemy „udane” wydarzenie jako lądowanie na orle.

Średnia liczba niepowodzeń (np. lądowanie ogonem), jakiej moglibyśmy się spodziewać przed osiągnięciem 4 sukcesów, wyniosłaby pr/(1-p) = (0,5*4) / (1-0,5) = 4 .

Wariancja liczby niepowodzeń, których oczekujemy przed uzyskaniem 4 sukcesów, będzie wynosić pr/(1-p) ² = (.5*4)/(1-.5) ² = 8 .

Problemy z praktyką ujemnego rozkładu dwumianowego

Skorzystaj z poniższych problemów praktycznych, aby sprawdzić swoją wiedzę na temat ujemnego rozkładu dwumianowego.

Uwaga: Do obliczenia odpowiedzi na te pytania użyjemy kalkulatora ujemnego rozkładu dwumianowego .

Problem 1

Pytanie: Załóżmy, że rzucimy monetą i zdefiniujemy „udane” wydarzenie jako lądowanie na reszce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że doświadczysz 3 porażek, zanim odniesiesz w sumie 4 sukcesy?

Odpowiedź: Używając kalkulatora ujemnego rozkładu dwumianowego dla k = 3 niepowodzeń, r = 4 sukcesów i p = 0,5, stwierdzamy, że P(X=3) = 0,15625 .

Problem 2

Pytanie: Załóżmy, że chodzimy od drzwi do drzwi i sprzedajemy słodycze. Za „sukces” uważamy, jeśli ktoś kupi batonik. Prawdopodobieństwo, że dana osoba kupi batonik wynosi 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że doświadczysz 8 porażek, zanim odniesiesz w sumie 5 sukcesów?

Odpowiedź: Używając kalkulatora ujemnego rozkładu dwumianowego dla k = 8 niepowodzeń, r = 5 sukcesów i p = 0,4, stwierdzamy, że P(X=8) = 0,08514 .

Problem 3

Pytanie: Załóżmy, że rzucamy kostką i definiujemy „udany” rzut jako wylądowanie na liczbie 5. Prawdopodobieństwo, że kość wyląduje na 5 w danym rzucie wynosi 1/6 = 0,167. Jakie jest prawdopodobieństwo, że doświadczysz 4 porażek, zanim odniesiesz w sumie 3 sukcesy?

Odpowiedź: Używając kalkulatora ujemnego rozkładu dwumianowego dla k = 4 niepowodzeń, r = 3 sukcesów i p = 0,167, stwierdzamy, że P(X=4) = 0,03364 .