Mediana

Przez Benjamin Anderson 5 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym jest mediana zbioru danych i jak znaleźć medianę dla danych niezgrupowanych i danych zgrupowanych. Dodatkowo możesz obliczyć medianę dowolnej serii danych za pomocą kalkulatora online na końcu.

Jaka jest mediana?

W statystyce mediana to środkowa wartość wszystkich danych uporządkowanych od najmniejszej do największej. Innymi słowy, mediana dzieli uporządkowany zbiór danych na dwie równe części.

Mediana jest miarą położenia centralnego używaną do opisu rozkładu prawdopodobieństwa.

👉 Możesz skorzystać z poniższego kalkulatora, aby obliczyć medianę dowolnego zbioru danych.

Ogólnie rzecz biorąc, termin „Ja” jest często używany jako symbol środka.

Inne miary położenia centralnego to średnia i mod, poniżej zobaczymy różnice między nimi. Podobnie miarami pozycji niecentralnej są kwartyle, kwintyle, decyle, percentyle itp.

Należy zauważyć, że mediana zbioru danych pokrywa się z drugim kwartylem, piątym decylem i 50. percentylem.

Jak obliczyć medianę

Obliczenie mediany zależy od tego, czy łączna liczba danych jest parzysta czy nieparzysta:

Jeśli całkowita liczba danych jest nieparzysta , medianą będzie wartość mieszcząca się w samym środku danych. To znaczy wartość znajdująca się na pozycji (n+1)/2 posortowanych danych.

$Me=x_{\frac{n+1}{2}$

Jeśli całkowita liczba punktów danych jest parzysta , mediana będzie średnią z dwóch punktów danych znajdujących się w środku. Oznacza to średnią arytmetyczną wartości znajdujących się na pozycjach n/2 i n/2+1 uporządkowanych danych.

$Me=\cfrac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$

Złoto

$n$

to całkowita liczba elementów danych w próbie.

Przykłady obliczania mediany

Aby zobaczyć, jak obliczana jest mediana, poniżej znajdują się dwa przykłady z życia wzięte, po jednym dla każdego przypadku. Najpierw zostanie obliczona mediana nieparzystego zbioru danych, a następnie mediana zostanie obliczona dla parzystego zbioru danych.

Mediana danych nieparzystych

Oblicz medianę następujących danych: 3, 4, 1, 6, 7, 4, 8, 2, 8, 4, 5

Pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić przed wykonaniem obliczeń, jest uporządkowanie danych, czyli ułożenie liczb od najmniejszej do największej.

$1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 4 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \ 8$

W tym przypadku mamy 11 obserwacji, więc łączna liczba danych jest nieparzysta. Dlatego do obliczenia położenia mediany stosujemy następujący wzór:

$\cfrac{n+1}{2}=\cfrac{11+1}{2}=6$

Medianą będą zatem dane znajdujące się na szóstej pozycji, co w tym przypadku odpowiada wartości 4.

$Me=x_6=4$

mediana parzystych danych

Jaka jest mediana następujących obserwacji? 2, 6, 2, 8, 9, 4, 7, 11, 4, 13

Aby uzyskać medianę, należy najpierw posortować wszystkie dane w kolejności rosnącej:

$2 \ 2 \ 4 \ 4 \ 6 \ 7 \ 8 \ 9 \ 11 \ 13$

Ten przykład różni się od poprzedniego, ponieważ tym razem mamy w sumie 10 obserwacji, co jest liczbą parzystą. Dlatego procedura określania średniej jest nieco bardziej skomplikowana.

Najpierw musisz obliczyć dwie środkowe pozycje, pomiędzy którymi zostanie znaleziona mediana, w tym celu musisz zastosować następujące dwa wzory:

$\cfrac{n}{2}=\cfrac{10}{2}=5$

$\cfrac{n}{2}+1=\cfrac{10}{2}+1=6$

Mediana będzie zatem znajdować się pomiędzy piątą a szóstą pozycją, co odpowiada odpowiednio wartościom 6 i 7. Konkretnie mediana będzie średnią arytmetyczną tych wartości:

$Me=\cfrac{x_5+x_6}{2}=\cfrac{6+7}{2}=6,5$

kalkulator mediany

Wprowadź zestaw danych statystycznych do poniższego kalkulatora, aby obliczyć jego medianę. Dane należy oddzielić spacją i wprowadzić z użyciem kropki jako separatora dziesiętnego.

Mediana dla pogrupowanych danych

Aby obliczyć medianę, gdy dane są pogrupowane w przedziały, należy najpierw znaleźć przedział lub przedział, w którym mieści się mediana, korzystając z następującego wzoru:

$\cfrac{n+1}{2}$

Zatem mediana będzie znajdować się w przedziale, którego skumulowana częstotliwość bezwzględna jest bezpośrednio większa niż liczba uzyskana z poprzedniego wyrażenia algebraicznego.

A kiedy już znamy przedział, do którego należy mediana, musimy zastosować następujący wzór, aby znaleźć dokładną wartość mediany:

$Me=L_i+ \cfrac{\displaystyle\frac{n+1}{2}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

Złoto:

L _i jest dolną granicą przedziału, w którym leży mediana.
n to całkowita liczba obserwacji.
F _i-1 to skumulowana częstotliwość bezwzględna poprzedniego przedziału.
f _i jest częstotliwością bezwzględną przedziału, w którym leży mediana.
I _i jest szerokością środkowego przedziału.

Dla przykładu, poniżej rozwiązałeś ćwiczenie, w którym obliczana jest mediana danych pogrupowanych w przedziały.

Aby znaleźć medianę zbioru danych, musimy najpierw określić zakres, w jakim ona się mieści. Aby to zrobić, używamy następującej formuły:

$\cfrac{n+1}{2}=\cfrac{30+1}{2} =15,5 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [60,70)$

Zatem mediana będzie znajdować się w przedziale, którego skumulowana częstotliwość bezwzględna jest bezpośrednio większa niż 15,5, co w tym przypadku jest przedziałem [60,70), którego skumulowana częstotliwość bezwzględna wynosi 26. Gdy znamy przedział mediany, stosujemy drugi wzór na proces:

$Me=L_i+ \cfrac{\displaystyle\frac{n+1}{2}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

$Me=60+\cfrac{\displaystyle\frac{30+1}{2}-15}{11}\cdot 10=60,45$

Ostatecznie mediana zbiorczego zbioru danych wynosi 60,45. Jak widać, w tego typu problemach mediana jest zwykle liczbą dziesiętną.

mediana, średnia i tryb

W tej ostatniej sekcji zobaczymy, jaka jest różnica między medianą, średnią i modą. Cóż, są to trzy statystyczne miary pozycji centralnej, ale ich znaczenie jest inne.

Jak widzieliśmy, medianę definiuje się jako wartość zajmującą centralną pozycję w momencie uporządkowania danych.

Natomiast średnia jest średnią wartością wszystkich danych statystycznych. Aby obliczyć średnią, należy dodać wszystkie dane, a następnie podzielić wynik przez liczbę punktów danych.

Wreszcie tryb jest najczęściej powtarzaną wartością w serii danych.

Jak widać, wszystkie trzy miary statystyczne pomagają opisać rozkład prawdopodobieństwa, ponieważ dają wyobrażenie o jego wartościach centralnych. Jednak żaden środek nie jest lepszy od innego, po prostu odnoszą się do różnych koncepcji.

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej