Moda (statystyki)

Przez Benjamin Anderson 5 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, jaki tryb znajduje się w statystykach. Dowiesz się, jak znaleźć tryb statystyczny dla danych zgrupowanych i niezgrupowanych, różne typy trybów i kilka przykładów tej miary statystycznej.

Co to jest tryb w statystykach?

W statystyce tryb to wartość w zbiorze danych, która ma najwyższą częstotliwość bezwzględną, to znaczy tryb jest najczęściej powtarzaną wartością w zbiorze danych.

Dlatego, aby obliczyć modę zbioru danych statystycznych, wystarczy policzyć, ile razy każdy element danych pojawia się w próbce, a modą będą najczęściej powtarzające się dane.

Tryb służy do definiowania rozkładu statystycznego, ponieważ najczęściej powtarzająca się wartość znajduje się zwykle w środku rozkładu.

Tryb można również nazwać trybem statystycznym lub wartością modalną . Podobnie, gdy dane są pogrupowane w interwały, najczęściej powtarzającym się interwałem jest interwał modalny lub klasa modalna .

Ogólnie termin Mo jest używany jako symbol trybu statystycznego, na przykład tryb rozkładu X to Mo(X).

Należy pamiętać, że tryb jest statystyczną miarą położenia centralnego, a także medianą i średnią. Poniżej zobaczymy, co oznacza każda z tych miar statystycznych.

Typy trybów w statystykach

W statystyce istnieje kilka rodzajów trybów, które są klasyfikowane według liczby najczęściej powtarzanych wartości:

Tryb unimodalny : istnieje tylko jedna wartość z maksymalną liczbą powtórzeń. Na przykład [1, 4, 2, 4, 5, 3].
Tryb bimodalny : Maksymalna liczba powtórzeń występuje przy dwóch różnych wartościach, a obie wartości powtarzane są taką samą liczbę razy. Na przykład [2, 6, 7, 2, 3, 6, 9].
Tryb multimodalny : Trzy lub więcej wartości mają tę samą maksymalną liczbę powtórzeń. Na przykład [3, 3, 4, 1, 3, 4, 2, 1, 4, 5, 2, 1].

Jak znaleźć tryb statystyczny

Aby znaleźć tryb statystyczny zbioru danych, należy wykonać następujące kroki:

Uporządkuj dane. Ten krok nie jest obowiązkowy, ale ułatwi liczenie liczb.
Policz, ile razy pojawia się każda liczba.
Liczba, która pojawia się najczęściej, to tryb statystyczny.

Przykłady trybu statystycznego

Biorąc pod uwagę definicję mody w statystykach, poniżej możesz zobaczyć przykład każdego rodzaju mody, abyś mógł lepiej zrozumieć to pojęcie.

Przykład trybu unimodalnego

Jaki jest tryb następującego zbioru danych?

$5 \ 4 \ 9 \ 7 \ 2 \ 3 \ 9 \ 6 \ 5 \ 2 \ 5$

Numery nie są uporządkowane, dlatego uporządkujemy je w pierwszej kolejności, aby ułatwić znalezienie trybu.

$2 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 5 \ 5 \ 6 \ 7 \ 9 \ 9$

Cyfry 2 i 9 pojawiają się dwukrotnie, natomiast cyfra 5 powtarza się trzykrotnie. Dlatego mod serii danych ma numer 5.

$Mo=5$

Przykład trybu bimodalnego

Oblicz modę następującego zbioru danych:

$8 \ 7 \ 0 \ 6 \ 10 \ 9 \ 13 \ 8 \ 0 \ 6 \ 2 \ 6 \ 5 \ 11 \ 10$

$0 \ 9 \ 8 \ 6 \ 12 \ 3 \ 5 \ 11 \ 1 \ 4 \ 8 \ 10 \ 2 \ 5 \ 7$

Najpierw porządkujemy liczby:

$0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 2 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 5 \ 5 \ 6 \ 6 \ 6 \ 6$

$7 \ 7 \ 8 \ 8 \ 8 \ 8 \ 9 \ 9 \ 10 \ 10 \ 10 \ 11 \ 11 \ 12 \ 13$

Jak widać, cyfra 6 i cyfra 8 pojawiają się w sumie cztery razy, czyli jest to maksymalna liczba powtórzeń. Dlatego w tym przypadku jest to tryb bimodalny, a dwie liczby oznaczają tryb zbioru danych:

$Mo=\{ 6 \ ; \ 8\}$

Przykład trybu multimodalnego

Znajdź następujący tryb zbioru danych:

$21 \ 27 \ 32 \ 15 \ 13 \ 20 \ 21 \ 21 \ 25 \ 27 \ 31 \ 30 \ 19 \ 20 \ 16$

$22 \ 19 \ 20 \ 31 \ 18 \ 20 \ 25 \ 26 \ 15 \ 20 \ 31 \ 31 \ 27 \ 16 \ 17$

$31 \ 27 \ 24 \ 23 \ 21 \ 27 \ 29 \ 36 \ 32 \ 30 \ 16 \ 22 \ 15 \ 14 \ 37$

Ponieważ danych jest dużo, najpierw sortujemy je w kolejności rosnącej, aby ułatwić policzenie:

$13 \ 14 \ 15\ 15\ 15 \ 16 \ 16 \ 16 \ 17 \ 18 \ 19 \ 19 \ 20 \ 20 \ 20$

$20 \ 20 \ 21 \ 21 \ 21\ 21 \ 22 \ 22 \ 23 \ 24 \ 25 \ 25 \ 26 \ 27 \ 27$

$27 \ 27 \ 27 \ 29 \ 30 \ 30 \ 31 \ 31 \ 31 \ 31 \ 31 \ 32 \ 32 \ 36 \ 37$

Najczęściej powtarzającymi się liczbami są 20, 27 i 31, wszystkie trzy liczby powtarzają się pięć razy. Tryb tego przykładu jest zatem multimodalny.

$Mo=\{ 20 \ ; \ 27 \ ; \ 31\}$

kalkulator mody

Wprowadź dane z dowolnej próbki statystycznej do poniższego kalkulatora online, aby obliczyć jej tryb. Dane należy oddzielić spacją i wprowadzić z użyciem kropki jako separatora dziesiętnego.

Tryb dla danych grupowanych

Kiedy mamy dane pogrupowane w formie interwałów, tak naprawdę nie wiemy, ile razy każdy fragment danych jest powtarzany, znamy jedynie częstotliwość każdego interwału.

Aby więc obliczyć modę danych pogrupowanych w przedziały, musimy skorzystać ze wzoru :

$Mo=L_i+ \cfrac{f_i-f_{i-1}}{(f_i-f_{i-1})+(f_i-f_{i+1})}\cdot A_i$

Złoto:

L _i jest dolną granicą przedziału modalnego (najwyższy bezwzględny przedział częstotliwości).
f _i jest częstotliwością bezwzględną przedziału modowego.
f _i-1 jest częstotliwością bezwzględną przedziału przed modalem.
f _i+1 jest częstotliwością bezwzględną przedziału po modalu.
A _i jest szerokością przedziału modalnego.

Dla przykładu, poniżej rozwiązałeś ćwiczenie, w którym obliczany jest tryb danych pogrupowanych w przedziały:

przykład trybu statystycznego dla danych pogrupowanych

W tym przypadku przedział modalny wynosi [40,45), ponieważ jest to przedział o największej częstotliwości bezwzględnej. Dlatego parametry formuły trybu dla zgrupowanych danych to:

$\begin{array}{c}L_i=40\\[2ex]f_i=11\\[2ex]f_{i-1}=10\\[2ex]f_{i+1}=6\\[2ex]A_i=5\end{array}$

Stosujemy zatem wzór na określenie postaci danych pogrupowanych w przedziały i wykonujemy obliczenia:

$\begin{aligned}Mo & =L_i+ \cfrac{f_i-f_{i-1}}{(f_i-f_{i-1})+(f_i-f_{i+1})}\cdot A_i\\[2ex]& =40+ \cfrac{11-10}{(11-10)+(11-6)}\cdot 5\\[2ex]&=40,83\end{aligned}$

Różnica między modą, średnią i medianą

W tej ostatniej sekcji zobaczymy, jaka jest różnica między modą, średnią i medianą. Ponieważ wszystkie trzy są statystycznymi miarami pozycji centralnej, ich znaczenie jest inne.

Jak wyjaśniono w całym artykule, mod w matematyce jest najczęściej powtarzającą się wartością w zbiorze danych.

Po drugie, średnia jest średnią wartością wszystkich danych statystycznych. Zatem, aby uzyskać średnią z określonych danych, należy dodać wszystkie dane, a następnie podzielić wynik przez liczbę obserwacji.

I wreszcie mediana to wartość, która zajmuje centralną pozycję podczas porządkowania danych.

Zatem trzy miary statystyczne pomagają zdefiniować rozkład prawdopodobieństwa, ponieważ dają wyobrażenie o jego wartościach centralnych. Należy jednak pamiętać, że nie ma jednej miary, która byłaby lepsza od drugiej, oznaczają one po prostu różne koncepcje.

Właściwości mody

Właściwości mody to:

Tryb można znaleźć zarówno w zmiennych ilościowych, jak i zmiennych jakościowych.
Jeśli zastosujemy transformację liniową do zmiennej losowej, wartość średniej będzie się zmieniać w zależności od zastosowanych operacji.

$Mo(X)=Y \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ M(aX+b)=aY+b$

Ogólnie rzecz biorąc, tryb jest niewrażliwy na wartości odstające.
Jeśli wszystkie wartości mają tę samą częstotliwość, nie ma trybu.

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej