Margines błędu a błąd standardowy: jaka jest różnica?

Dwa terminy, które uczniowie często mylą w statystyce, to błąd standardowy i margines błędu .

Błąd standardowy mierzy precyzję oszacowania średniej populacji. Oblicza się go w następujący sposób:

Błąd standardowy = s / √n

Złoto:

• s: odchylenie standardowe próbki
• n: wielkość próbki

Margines błędu mierzy połowę szerokości przedziału ufności dla średniej populacji . Oblicza się go w następujący sposób:

Margines błędu = z*(s/√n)

Złoto:

• z: Wartość Z odpowiadająca danemu poziomowi ufności
• s: odchylenie standardowe próbki
• n: wielkość próbki

Spójrzmy na przykład ilustrujący tę ideę.

Przykład: margines błędu w porównaniu z błędem standardowym

Załóżmy, że zbieramy losową próbkę żółwi z następującymi informacjami:

• Wielkość próby n = 25
• Średnia masa próbki x = 300
• Próbka odchylenie standardowe s = 18,5

Załóżmy teraz, że chcemy stworzyć 95% przedział ufności dla prawdziwej średniej masy populacji żółwi. Wzór na obliczenie tego przedziału ufności jest następujący:

Przedział ufności = x +/- z*(s/√n)

Złoto:

• x : przykładowe środki
• s: odchylenie standardowe próbki
• n: wielkość próbki
• z: Wartość Z odpowiadająca danemu poziomowi ufności

Używana wartość z zależy od wybranego poziomu ufności. W poniższej tabeli przedstawiono wartość z odpowiadającą najczęściej wybieranym poziomom ufności:

Należy zauważyć, że wyższe poziomy ufności odpowiadają większym wartościom z, co prowadzi do szerszych przedziałów ufności. Oznacza to, że na przykład 99% przedział ufności będzie szerszy niż 95% przedział ufności dla tego samego zestawu danych.

Błąd standardowy oblicza się w następujący sposób:

 Standard error = s/√n = 18.5/√25 = 3.7

Margines błędu oblicza się w następujący sposób

 Margin of error = z*(s/√n) = 1.96*(18.5/√25) = 7.25

A 95% przedział ufności zostanie obliczony w następujący sposób:

 95% Confidence Interval = x +/- z*(s/√n) = 300 +/- 1.96*(18.5/√25) = [292.75, 307.25]

Należy zauważyć, że szerokość całego przedziału ufności wynosi 307,25 – 292,75 = 14,5 .

Należy pamiętać, że margines błędu jest równy połowie tej szerokości: 14,5 / 2 = 7,25 .

Należy również pamiętać, że margines błędu będzie zawsze większy niż błąd standardowy po prostu dlatego, że margines błędu jest równy błądowi standardowemu pomnożonemu przez krytyczną wartość Z. W poprzednim przykładzie pomnożyliśmy błąd standardowy przez 1,96, aby uzyskać margines błędu.

Dodatkowe zasoby

Co to są przedziały ufności?
Odchylenie standardowe i błąd standardowy: jaka jest różnica?