Rozkład dwumianowy i rozkład geometryczny: podobieństwa i różnice

Dwa powszechnie stosowane rozkłady w statystyce to rozkład dwumianowy i rozkład geometryczny .

Ten samouczek zawiera krótkie wyjaśnienie każdej dystrybucji, a także podobieństwa i różnice między nimi.

Rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy opisuje prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w n eksperymentach dwumianowych .

Jeśli zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy, prawdopodobieństwo, że X = k powodzenia można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Złoto:

• n: liczba prób
• k: liczba sukcesów
• p: prawdopodobieństwo sukcesu w danej próbie
• _n C _k : liczba sposobów uzyskania k sukcesów w n próbach

Załóżmy na przykład, że rzucamy monetą 3 razy. Możemy użyć powyższego wzoru, aby określić prawdopodobieństwo uzyskania 0 reszek podczas tych 3 rzutów:

P(X=0) = ₃ C ₀ * 0,5 ⁰ * (1-0,5) ^3-0 = 1 * 1 * (0,5) ³ = 0,125

Rozkład geometryczny

Rozkład geometryczny opisuje prawdopodobieństwo wystąpienia określonej liczby niepowodzeń przed osiągnięciem pierwszego sukcesu w serii eksperymentów dwumianowych.

Jeśli zmienna losowa X ma rozkład geometryczny, wówczas prawdopodobieństwo wystąpienia k niepowodzeń przed pierwszym sukcesem można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

P(X=k) = (1-p) ^kp

Złoto:

• k: liczba niepowodzeń przed pierwszym sukcesem
• p: prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie

Załóżmy na przykład, że chcemy wiedzieć, ile razy musimy rzucić uczciwą monetą, aż wypadnie reszka. Możemy skorzystać z powyższego wzoru, aby określić prawdopodobieństwo wystąpienia 3 „chybień”, zanim moneta ostatecznie wyląduje na orle:

P(X=3) = (1-0,5) ³ (0,5) = 0,0625

Podobieństwa i różnice

Rozkłady dwumianowe i geometryczne mają następujące podobieństwa :

• Wynik eksperymentów w obu rozkładach można sklasyfikować jako „sukces” lub „porażkę”.
• Prawdopodobieństwo sukcesu jest takie samo dla każdej próby.
• Każdy test jest niezależny.

Dystrybucje mają następującą kluczową różnicę :

• W rozkładzie dwumianowym jest stała liczba prób (tzn. rzuć monetą 3 razy)
• W rozkładzie geometrycznym interesuje nas liczba prób niezbędnych do osiągnięcia sukcesu (tj. ile odwróceń będziemy musieli wykonać, zanim zobaczymy Resztę?)

Zagadnienia praktyczne: kiedy używać każdej dystrybucji

W każdym z poniższych problemów praktycznych określ, czy zmienna losowa ma rozkład dwumianowy, czy geometryczny.

Zadanie 1: Rzuć kostką

Jessica gra w grę losową, w której rzuca kostką, aż wypadnie liczba 4. Niech X będzie liczbą rzutów, aż do pojawienia się 4. Jakiego typu rozkładem podlega zmienna losowa X ?

Odpowiedź : testowanie.

Zadanie 2: Strzelanie rzutów wolnych

Tyler wykonuje 80% wszystkich rzutów wolnych, jakie wykonuje. Załóżmy, że wykona 10 rzutów wolnych. Niech X oznacza, ile razy Tyler trafia do kosza w ciągu 10 prób. Jakiego rodzaju rozkładem podlega zmienna losowa X ?

Odpowiedź :

Dodatkowe zasoby

Kalkulator rozkładu dwumianowego
Kalkulator rozkładu geometrycznego