Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa

Przez 3 sierpnia, 2023 Prawdopodobieństwo 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, jakie dyskretne rozkłady prawdopodobieństwa występują w statystyce. Znajdziesz więc znaczenie dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa, przykłady dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa i jakie są różne typy dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa.

Co to jest dyskretny rozkład prawdopodobieństwa?

Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa to rozkład definiujący prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej . Dlatego dyskretny rozkład prawdopodobieństwa może przyjmować tylko skończoną liczbę wartości (zwykle liczb całkowitych).

Na przykład rozkład dwumianowy, rozkład Poissona i rozkład hipergeometryczny są dyskretnymi rozkładami prawdopodobieństwa.

W dyskretnym rozkładzie prawdopodobieństwa każda wartość zmiennej dyskretnej reprezentującej (x i ) jest powiązana z wartością prawdopodobieństwa ( pi ) mieszczącą się w przedziale od 0 do 1. Zatem suma wszystkich prawdopodobieństw w rozkładzie dyskretnym daje wynik jeden .

\begin{array}{c}P[X=x_i]=p_i \quad i=1,2,\ldots, n\\[2ex]0\leq p_i\leq 1\\[2ex]\displaystyle\sum_{i=0}^{n}p_i=1\end{array}

Przykłady dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa

Teraz, gdy znamy definicję dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa, zobaczymy kilka przykładów tego typu rozkładu, aby lepiej zrozumieć tę koncepcję.

Przykłady dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa:

  1. Ile razy liczba 5 zostanie uzyskana poprzez 30-krotny rzut kostką.
  2. Liczba użytkowników, którzy uzyskują dostęp do strony internetowej w ciągu dnia.
  3. Liczba uczniów, którzy zdali egzamin na ogólną liczbę 50 uczniów.
  4. Liczba wadliwych jednostek w próbie 100 produktów.
  5. Ile razy dana osoba musi przystąpić do egzaminu na prawo jazdy, aby go zdać.

Rodzaje dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa

Główne typy dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa to:

  • Dyskretny rozkład równomierny
  • Rozkład Bernoulliego
  • Rozkład dwumianowy
  • Dystrybucja ryb
  • Rozkład wielomianowy
  • Rozkład geometryczny
  • Ujemny rozkład dwumianowy
  • Rozkład hipergeometryczny

Każdy typ dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa wyjaśniono szczegółowo poniżej.

Dyskretny rozkład równomierny

Dyskretny rozkład równomierny to dyskretny rozkład prawdopodobieństwa, w którym wszystkie wartości są jednakowo prawdopodobne, to znaczy w dyskretnym rozkładzie równomiernym wszystkie wartości mają to samo prawdopodobieństwo wystąpienia.

Na przykład rzut kostką można zdefiniować za pomocą dyskretnego równomiernego rozkładu, ponieważ wszystkie możliwe wyniki (1, 2, 3, 4, 5 lub 6) mają to samo prawdopodobieństwo wystąpienia.

Ogólnie rzecz biorąc, dyskretny rozkład równomierny ma dwa charakterystyczne parametry aib , które określają zakres możliwych wartości , jakie może przyjąć rozkład. Zatem, gdy zmienna jest zdefiniowana przez dyskretny rozkład równomierny, jest zapisywana jako Uniform(a,b) .

X\sim \text{Uniforme}(a,b)

Dyskretny rozkład równomierny można wykorzystać do opisania eksperymentów losowych, ponieważ jeśli wszystkie wyniki mają to samo prawdopodobieństwo, oznacza to, że eksperyment jest losowy.

Rozkład Bernoulliego

Rozkład Bernoulliego , znany również jako rozkład dychotomiczny , to rozkład prawdopodobieństwa reprezentujący zmienną dyskretną, która może mieć tylko dwa wyniki: „sukces” lub „porażka”.

W rozkładzie Bernoulliego „sukces” jest oczekiwanym przez nas wynikiem i ma wartość 1, natomiast wynik „porażki” jest wynikiem innym niż oczekiwany i ma wartość 0. Zatem, jeśli prawdopodobieństwo wyniku „ sukces” wynosi p , prawdopodobieństwo wyniku „porażki” wynosi q=1-p .

\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}

Rozkład Bernoulliego został nazwany na cześć szwajcarskiego statystyka Jacoba Bernoulliego.

W statystyce rozkład Bernoulliego ma głównie jedno zastosowanie: określanie prawdopodobieństw eksperymentów, w których możliwe są tylko dwa wyniki: sukces i porażka. Zatem eksperyment wykorzystujący rozkład Bernoulliego nazywany jest testem Bernoulliego lub eksperymentem Bernoulliego.

Rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy , zwany także rozkładem dwumianowym , to rozkład prawdopodobieństwa, który liczy liczbę sukcesów podczas wykonywania serii niezależnych, dychotomicznych eksperymentów ze stałym prawdopodobieństwem sukcesu. Innymi słowy, rozkład dwumianowy to rozkład opisujący liczbę pomyślnych wyników sekwencji prób Bernoulliego.

Na przykład liczba wyrzuconych reszek na monecie 25 razy jest rozkładem dwumianowym.

Ogólnie rzecz biorąc, całkowitą liczbę przeprowadzonych eksperymentów definiuje się za pomocą parametru n , natomiast p jest prawdopodobieństwem powodzenia każdego eksperymentu. Zatem zmienną losową o rozkładzie dwumianowym zapisuje się w następujący sposób:

X\sim\text{Bin}(n,p)

Należy zauważyć, że w rozkładzie dwumianowym dokładnie ten sam eksperyment powtarza się n razy, a eksperymenty są od siebie niezależne, zatem prawdopodobieństwo powodzenia każdego eksperymentu jest takie samo (p) .

Dystrybucja ryb

Rozkład Poissona to rozkład prawdopodobieństwa, który określa prawdopodobieństwo wystąpienia danej liczby zdarzeń w pewnym okresie czasu. Innymi słowy, rozkład Poissona służy do modelowania zmiennych losowych opisujących liczbę powtórzeń zjawiska w danym przedziale czasu.

Na przykład liczba połączeń odbieranych przez centralę telefoniczną na minutę jest dyskretną zmienną losową, którą można zdefiniować za pomocą rozkładu Poissona.

Rozkład Poissona ma charakterystyczny parametr, oznaczony grecką literą λ, który wskazuje, ile razy przewidywane jest wystąpienie badanego zdarzenia w danym przedziale.

X\sim \text{Poisson}(\lambda)

Rozkład wielomianowy

Rozkład wielomianowy (lub rozkład wielomianowy ) to rozkład prawdopodobieństwa opisujący prawdopodobieństwo wystąpienia kilku wzajemnie wykluczających się zdarzeń określoną liczbę razy po kilku próbach.

Oznacza to, że jeśli w wyniku losowego eksperymentu mogą zaistnieć trzy lub więcej wykluczających się zdarzeń i znane jest prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia z osobna, do obliczenia prawdopodobieństwa, że po przeprowadzeniu wielu eksperymentów wystąpi określona liczba zdarzeń, stosuje się rozkład wielomianowy. czas za każdym razem.

Rozkład wielomianowy jest zatem uogólnieniem rozkładu dwumianowego.

Rozkład geometryczny

Rozkład geometryczny to rozkład prawdopodobieństwa, który określa liczbę prób Bernoulliego wymaganych do uzyskania pierwszego pomyślnego wyniku. Oznacza to, że rozkład geometryczny modeluje procesy, w których eksperymenty Bernoulliego są powtarzane, aż jeden z nich uzyska pozytywny wynik.

Na przykład liczba samochodów przejeżdżających drogą do momentu zobaczenia żółtego samochodu to rozkład geometryczny.

Pamiętaj, że test Bernoulliego to eksperyment, który ma dwa możliwe wyniki: „sukces” i „porażkę”. Zatem jeśli prawdopodobieństwo „sukcesu” wynosi p , prawdopodobieństwo „porażki” wynosi q=1-p .

Rozkład geometryczny zależy zatem od parametru p , który oznacza prawdopodobieństwo powodzenia wszystkich przeprowadzonych eksperymentów. Co więcej, prawdopodobieństwo p jest takie samo dla wszystkich eksperymentów.

X\sim\text{Geom\'etrica}(p)

Ujemny rozkład dwumianowy

Ujemny rozkład dwumianowy to rozkład prawdopodobieństwa opisujący liczbę prób Bernoulliego wymaganych do uzyskania danej liczby pozytywnych wyników.

Dlatego ujemny rozkład dwumianowy ma dwa charakterystyczne parametry: r to liczba pożądanych pomyślnych wyników, a p to prawdopodobieństwo sukcesu dla każdego przeprowadzonego eksperymentu Bernoulliego.

X\sim \text{BN}(r,p)

Zatem ujemny rozkład dwumianowy definiuje proces, w którym przeprowadza się tyle prób Bernoulliego, ile potrzeba do uzyskania pozytywnych wyników . Co więcej, wszystkie te próby Bernoulliego są niezależne i mają stałe prawdopodobieństwo powodzenia .

Na przykład zmienna losowa, która ma ujemny rozkład dwumianowy, oznacza, ile razy należy rzucić kostką, aby liczba 6 została wyrzucona trzykrotnie.

Rozkład hipergeometryczny

Rozkład hipergeometryczny to rozkład prawdopodobieństwa opisujący liczbę pomyślnych przypadków w losowej ekstrakcji bez zastępowania n elementów z populacji.

Oznacza to, że rozkład hipergeometryczny służy do obliczenia prawdopodobieństwa uzyskania x sukcesów podczas wyodrębniania n elementów z populacji bez zastępowania żadnego z nich.

Dlatego rozkład hipergeometryczny ma trzy parametry:

  • N : to liczba elementów w populacji (N = 0, 1, 2,…).
  • K : to maksymalna liczba przypadków sukcesu (K = 0, 1, 2,…,N). Ponieważ w rozkładzie hipergeometrycznym element można uznać jedynie za „sukces” lub „porażkę”, NK to maksymalna liczba przypadków awarii.
  • n : liczba wykonanych pobrań bez zamiany.

X \sim HG(N,K,n)

Dyskretny i ciągły rozkład prawdopodobieństwa

Na koniec zobaczymy różnicę między dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa a ciągłym rozkładem prawdopodobieństwa, ponieważ ważne jest, aby wiedzieć, jak rozróżnić te dwa typy rozkładów.

Różnica między rozkładem dyskretnym a rozkładem ciągłym polega na liczbie wartości, jakie mogą przyjąć. Rozkład ciągły może przyjmować dowolną wartość, natomiast rozkład dyskretny nie przyjmuje żadnych wartości, a jedynie skończoną liczbę wartości.

Jednym ze sposobów odróżnienia rozkładów ciągłych od dyskretnych jest określenie, jakiego typu liczby mogą one zawierać. Zwykle rozkład ciągły może przyjmować dowolną wartość, w tym liczby dziesiętne, podczas gdy rozkłady dyskretne mogą przyjmować tylko liczby całkowite. Pamiętaj, że ta wskazówka nie działa we wszystkich przypadkach, ale w zdecydowanej większości przypadków.

o autorze

Benjamin Anderson
Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *