Eksperymenty dwumianowe: wyjaśnienie + przykłady

Zrozumienie eksperymentów dwumianowych jest pierwszym krokiem do zrozumienia rozkładu dwumianowego .

W tym samouczku zdefiniowano eksperyment dwumianowy i przedstawiono kilka przykładów eksperymentów, które są lub nie są uważane za eksperymenty dwumianowe.

Eksperyment dwumianowy: definicja

Eksperyment dwumianowy to eksperyment, który ma następujące cztery właściwości:

1. Doświadczenie składa się z n powtarzanych prób. Liczba n może być dowolną liczbą. Na przykład, jeśli rzucimy monetą 100 razy, wówczas n = 100.

2. Każda próba ma tylko dwa możliwe wyniki. Często nazywamy wyniki „sukcesem” lub „porażką”, ale „sukces” to tylko etykieta czegoś, na co liczymy. Na przykład, gdy rzucamy monetą, możemy uznać reszkę za „trafienie”, a reszkę za „porażkę”.

3. Prawdopodobieństwo sukcesu, oznaczone p , jest takie samo dla każdej próby. Aby eksperyment był prawdziwym eksperymentem dwumianowym, prawdopodobieństwo „sukcesu” musi być takie samo dla każdej próby. Na przykład, gdy rzucamy monetą, prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki („sukcesu”) jest zawsze takie samo za każdym razem, gdy rzucamy monetą.

4. Każdy test jest niezależny . Oznacza to po prostu, że wynik jednego badania nie wpływa na wynik innego badania. Załóżmy na przykład, że rzucamy monetą i wypadnie reszka. Fakt, że wyląduje na orle, nie zmienia prawdopodobieństwa, że wyląduje na orle w następnym rzucie. Każdy obrót (tzn. każda „próba”) jest niezależny.

Przykłady eksperymentów dwumianowych

Wszystkie poniższe eksperymenty są przykładami eksperymentów dwumianowych.

Przykład 1

Rzuć monetą 10 razy. Zapisz, ile razy wypadł reszka.

Jest to eksperyment dwumianowy, ponieważ ma następujące cztery właściwości:

• Doświadczenie składa się z n powtarzanych prób. W tym przypadku jest 10 prób.
• Każda próba ma tylko dwa możliwe wyniki. Moneta może wylądować tylko na orle lub reszce.
• Prawdopodobieństwo sukcesu jest takie samo dla każdej próby . Jeśli zdefiniujemy „sukces” jako lądowanie na głowie, wówczas prawdopodobieństwo sukcesu wynosi dokładnie 0,5 dla każdej próby.
• Każdy test jest niezależny . Wynik jednego losowania nie ma wpływu na wynik żadnego innego losowania.

Przykład nr 2

Rzuć 20 razy kostką o 6 ściankach. Zapisz, ile razy pojawiła się cyfra 2.

Jest to eksperyment dwumianowy, ponieważ ma następujące cztery właściwości:

• Doświadczenie składa się z n powtarzanych prób. W tym przypadku jest 20 prób.
• Każda próba ma tylko dwa możliwe wyniki. Jeśli zdefiniujemy 2 jako „sukces”, to za każdym razem, gdy kość wyląduje albo na 2 (sukces), albo na innej liczbie (porażka).
• Prawdopodobieństwo sukcesu jest takie samo dla każdej próby . W każdej próbie prawdopodobieństwo, że wypadnie 2, wynosi 1/6. Prawdopodobieństwo to nie zmienia się z jednej próby na drugą.
• Każdy test jest niezależny . Wynik rzutu kostką nie wpływa na wynik pozostałych rzutów kostką.

Przykład nr 3

Tyler wykonuje 70% swoich prób rzutów wolnych. Załóżmy, że podejmie 15 prób. Zapisz, ile koszy wykonał.

Jest to eksperyment dwumianowy, ponieważ ma następujące cztery właściwości:

• Doświadczenie składa się z n powtarzanych prób. W tym przypadku jest 15 prób.
• Każda próba ma tylko dwa możliwe wyniki. Przy każdej próbie Tyler albo trafia do kosza, albo nie trafia.
• Prawdopodobieństwo sukcesu jest takie samo dla każdej próby . Dla każdej próby prawdopodobieństwo, że Tyler trafi do kosza, wynosi 70%. Prawdopodobieństwo to nie zmienia się z jednej próby na drugą.
• Każdy test jest niezależny . Wynik próby rzutu wolnego nie ma wpływu na wynik jakiejkolwiek innej próby rzutu wolnego.

Przykłady, które nie są eksperymentami dwumianowymi

Przykład 1

Zapytaj 100 osób, ile mają lat .

To nie jest eksperyment dwumianowy, ponieważ istnieją więcej niż dwa możliwe wyniki.

Przykład nr 2

Rzuć 6-ścienną kostką, aż pojawi się 5.

To nie jest eksperyment dwumianowy, ponieważ nie ma z góry określonej liczby n prób. Nie mamy pojęcia, ile rzutów zajmie, zanim pojawi się 5.

Przykład nr 3

Dobierz 5 kart z talii kart.

Nie jest to eksperyment dwumianowy, ponieważ wynik jednej próby (np. dobranie określonej karty z talii) wpływa na wynik kolejnych prób.

Przykład i rozwiązanie doświadczenia dwumianowego

Poniższy przykład pokazuje, jak rozwiązać pytanie dotyczące eksperymentu dwumianowego.

Rzucasz monetą 10 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na monecie wypadnie dokładnie 7 orłów?

Ilekroć chcemy znaleźć prawdopodobieństwo n sukcesów w eksperymencie dwumianowym, musimy skorzystać z następującego wzoru:

P(dokładnie k sukcesów) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Złoto:

• n: liczba prób
• k: liczba sukcesów
• C: symbol „kombinacji”.
• p: prawdopodobieństwo sukcesu w danej próbie

Wstawiając te liczby do wzoru otrzymujemy:

P(7 głów) = ₁₀ C ₇ * 0,5 ⁷ * (1-0,5) ^10-7 = (120) * (0,0078125) * (0,125) = 0,11719 .

Zatem prawdopodobieństwo, że na monecie wypadnie reszka 7 razy, wynosi 0,11719 .