Przedział estymacji

Przez 3 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym jest estymacja przedziałowa w statystyce. Dowiesz się także, jak przeprowadzana jest estymacja przedziałowa i wreszcie, czym różni się estymacja przedziałowa od estymacji punktowej.

Co to jest estymacja interwałowa?

W statystyce estymacja przedziałowa to proces, w którym wartość parametru populacji jest szacowana za pomocą przedziału. Mówiąc dokładniej, estymacja przedziałowa polega na obliczeniu przedziału, w którym z określonym poziomem ufności najprawdopodobniej zostanie znaleziona wartość parametru.

Na przykład, jeśli w estymacji przedziałowej dojdziemy do wniosku, że przedział ufności dla średniej populacji wynosi (3,7) przy poziomie ufności 95%, oznacza to, że średnia badanej populacji będzie wynosić od 3 do 7 przy prawdopodobieństwo 95%.

Ogólnie rzecz biorąc, wielkość populacji jest zbyt duża, aby zbadać wszystkie jej osobniki, dlatego nie można określić wartości jej pomiarów statystycznych z całą pewnością, lecz można ją określić w przybliżeniu.

Zatem estymacja przedziałowa służy do zapewnienia, na podstawie przykładowych danych, przybliżenia zakresu wartości, pomiędzy którymi mieści się parametr populacji. W ten sposób wartość parametru populacyjnego można oszacować na podstawie danych pochodzących z próby.

Wreszcie, aby w pełni zrozumieć znaczenie estymacji przedziałowej, należy mieć jasność co do pojęcia przedziału ufności. Przedział ufności to przedział, który zapewnia, z marginesem błędu, przybliżenie wartości, pomiędzy którymi mieści się wartość parametru populacji. Dlatego przedział ufności jest wynikiem uzyskanym z oszacowania przedziału.

Formuły estymacji przedziałowej

Poniżej znajdziesz różne wzory do szacowania przedziałów ufności, ponieważ w zależności od tego, czy chcesz oszacować przedział ufności dla średniej, dla wariancji czy dla proporcji, należy zastosować inny wzór.

Przedział ufności dla średniej

Zakładając, że proces wprowadzania zmiennej przebiega następująco:

Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)

Przedział ufności dla średniej oblicza się, dodając i odejmując od średniej próbki wartość Z α/2 pomnożoną przez odchylenie standardowe (σ) i podzieloną przez pierwiastek kwadratowy z wielkości próby (n). Zatem wzór na obliczenie przedziału ufności średniej jest następujący:

\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Dla dużych próbek i poziomu ufności 95% wartością krytyczną jest Z α/2 = 1,96, a dla poziomu ufności 99% wartością krytyczną jest Z α/2 = 2,576.

Powyższy wzór stosuje się, gdy znana jest wariancja populacji. Jeśli jednak wariancja populacji jest nieznana, co jest najczęstszym przypadkiem, przedział ufności dla średniej oblicza się za pomocą następującego wzoru:

\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)

Złoto:

  • \overline{x}

    to przykładowe środki.

  • t_{\alpha/2}

    jest wartością rozkładu t-Studenta n-1 stopni swobody z prawdopodobieństwem α/2.

  • s

    jest odchyleniem standardowym próbki.

  • n

    to wielkość próbki.

przedział ufności

Przedział ufności dla wariancji

Aby obliczyć przedział ufności dla wariancji populacji, stosuje się rozkład chi-kwadrat. Dokładniej, wzór na obliczenie przedziału ufności dla wariancji jest następujący:

\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)

Złoto:

  • n

    to wielkość próbki.

  • s

    jest odchyleniem standardowym próbki.

  • \chi_{n-1;\alpha/2}

    jest wartością rozkładu chi-kwadrat z n-1 stopniami swobody dla prawdopodobieństwa mniejszego niż α/2.

  • \chi_{n-1;1-\alpha/2}

    jest wartością rozkładu chi-kwadrat z n-1 stopniami swobody dla prawdopodobieństwa większego niż 1-α/2.

Przedział ufności dla proporcji

Przedział ufności dla proporcji oblicza się, dodając i odejmując od proporcji próbki wartość Z α/2 pomnożoną przez pierwiastek kwadratowy proporcji próbki (p) pomnożony przez 1-p i podzielony przez liczebność próby (n). Zatem wzór na obliczenie przedziału ufności dla proporcji jest następujący:

\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)

Złoto:

  • p

    jest proporcją próbki.

  • n

    to wielkość próbki.

  • Z_{\alpha/2}

    jest kwantylem standardowego rozkładu normalnego odpowiadającym prawdopodobieństwu α/2. Dla dużych próbek i poziomu ufności 95% jest to zwykle bliskie 1,96, a dla poziomu ufności 99% jest zwykle bliskie 2,576.

Estymacja przedziałowa i estymacja punktowa

Na koniec zobaczymy, jakie są różnice między estymacją przedziałową a estymacją punktową, ponieważ wartość parametru populacji można oszacować za pomocą przedziału (jak widzieliśmy w całym artykule) lub za pomocą wartości punktowej.

Różnica między estymacją przedziałową a estymacją punktową polega na zakresie wartości stosowanych w estymacji parametrów. W estymacji przedziałowej parametr aproksymowany jest do przedziału ufności, natomiast w estymacji punktowej parametr aproksymowany jest do określonej wartości.

Dlatego w estymacji punktowej pojedyncza wartość obliczona na podstawie danych próbki jest traktowana jako przybliżenie wartości parametru populacji. Na przykład średnią populacji można dokładnie oszacować, korzystając ze średniej próbki.

Zatem estymacja punktowa ma zalety i wady w porównaniu z estymacją przedziałową, tak że każdy rodzaj estymacji jest odpowiedni do zastosowania w danej sytuacji. Aby dowiedzieć się więcej, kliknij poniższy link:

o autorze

Benjamin Anderson
Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *