Co to są zmienne losowe iid? (definicja i przykłady)

W statystyce zmienne losowe nazywane są iid – niezależnie i o rozkładzie jednakowym – jeśli spełnione są dwa poniższe warunki:

(1) Niezależny – wynik jednego zdarzenia nie wpływa na wynik innego.

(2) Rozkład identyczny – rozkład prawdopodobieństwa każdego zdarzenia jest identyczny.

Poniższe scenariusze ilustrują przykłady zmiennych losowych iid w praktyce.

Przykład 1: Rzuć monetą

Załóżmy, że rzucamy monetą 10 razy i sprawdzamy, ile razy wypadła reszka.

To jest przykład zmiennej losowej o niezależnym i identycznym rozkładzie, ponieważ spełnione są oba poniższe warunki:

(1) Niezależny – Wynik rzutu monetą nie wpływa na wynik innego rzutu monetą. Każdy rzut jest niezależny.

(2) Równe rozdanie – prawdopodobieństwo, że w danym rzucie wypadnie reszka, wynosi 0,5. Prawdopodobieństwo to nie zmienia się z jednego rzutu na drugi.

Przykład 2: Rzuć kostką

Załóżmy, że rzucamy kostką 50 razy i sprawdzamy, ile razy kość wypadła na cyfrę 4.

To jest przykład zmiennej losowej o niezależnym i identycznym rozkładzie, ponieważ spełnione są oba poniższe warunki:

(1) Niezależny – Wynik jednego rzutu kostką nie wpływa na wynik kolejnego rzutu kostką. Każdy wałek jest niezależny.

(2) Równomierny rozkład – prawdopodobieństwo, że kość wyląduje na „4” w danym rzucie wynosi 1/6. Prawdopodobieństwo to nie zmienia się z jednego rzutu na drugi.

Przykład 3: Obracanie góry

Załóżmy, że kręcimy ruletką podzieloną równo na cztery kolory (czerwony, niebieski, zielony i fioletowy) 100 razy i sprawdzamy, ile razy wypadło na fiolet.

To jest przykład zmiennej losowej o niezależnym i identycznym rozkładzie, ponieważ spełnione są oba poniższe warunki:

(1) Niezależny – Wynik jednej rundy nie wpływa na wynik kolejnej rundy. Każda tura jest niezależna.

(2) Rozkład równomierny – prawdopodobieństwo, że koło ruletki wyląduje na fioletowo w dowolnym obrocie wynosi 0,25. Prawdopodobieństwo to nie zmienia się z jednej rundy na następną.

Przykład 4: Wybór karty

Standardowa talia kart zawiera 52 karty, w tym 4 królowe. Załóżmy, że losowo dobieramy kartę ze standardowej talii, a następnie umieszczamy ją z powrotem w talii. Załóżmy, że powtórzymy to 100 razy i będziemy śledzić, ile razy wylosowaliśmy królową.

To jest przykład zmiennej losowej o niezależnym i identycznym rozkładzie, ponieważ spełnione są oba poniższe warunki:

(1) Niezależny – Wynik jednego losowania nie ma wpływu na wynik żadnego innego losowania. Każdy wydruk jest niezależny.

(2) Rozkład identyczny – Prawdopodobieństwo, że w danym losowaniu wybierzemy damę wynosi 4/52. Prawdopodobieństwo to nie zmienia się z jednego losowania na drugie.

Dodatkowe zasoby

Wprowadzenie do zmiennych losowych
Jakie jest założenie niezależności w statystyce?