Kwantyle

Przez Benjamin Anderson 5 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

Tutaj dowiesz się czym są kwantyle i jak są obliczane. Wyjaśnimy również, jakie są rodzaje kwantyli i zobaczysz rozwiązane przykłady obliczania kwantyli. Wreszcie będziesz mógł obliczyć dowolny kwantyl próbki danych za pomocą kalkulatora online.

Co to są kwantyle?

W statystyce kwantyle to punkty, które równo dzielą zbiór uporządkowanych danych. Zatem kwantyl wskazuje wartość, poniżej której leży procent danych.

Na przykład, jeśli wartość kwantyla rzędu 0,39 wynosi 24, oznacza to, że 39% danych w próbie ma mniej niż 24, a reszta danych jest większa niż 24.

Dlatego kwantyle służą do oddzielania danych z rozkładu na równe grupy. Dodatkowo służą również do wskazania procentu danych powyżej lub poniżej określonej wartości.

👉 Możesz skorzystać z poniższego kalkulatora, aby obliczyć kwantyle dowolnego zbioru danych.

Rodzaje kwantyli

Wyróżnia się następujące rodzaje kwantyli:

Kwartyle – kwantyle dzielące zbiór danych na cztery równe części. Istnieją zatem trzy kwartyle: kwartyl pierwszy (Q ₁ ), kwartyl drugi (Q ₂ ) i kwartyl trzeci (Q ₃ ).
Kwintyle – kwantyle dzielące zbiór danych na pięć równych części. Zatem w próbie mogą znajdować się tylko cztery kwintyle. Ten typ kwantyli wyraża się literą K.
Decyle : kwantyle dzielące zbiór danych na dziesięć równych części. Symbolem decyli jest litera D.
Percentyle – kwantyle dzielące zbiór danych na sto równych części. Percentyle wskazują również procent próbki. Nazywa się je literą P.

Jedną z właściwości łączących różne typy kwantyli jest to, że mediana, drugi kwartyl, piąty decyl i 50. percentyl mają tę samą wartość.

Ponadto istnieją również inne typy kwantyli, ale są one rzadziej używane. Wśród nich wyróżniają się tercyle, które dzielą szereg danych na trzy identyczne części, oraz vigilantes, które dzielą zebrane dane na dwadzieścia równoważnych części.

Podobnie wszystkie rodzaje kwantyli są uważane za miary położenia niecentralnego.

Jak obliczyć kwantyle

Aby obliczyć położenie kwantyla zbioru danych statystycznych, należy pomnożyć liczbę kwantylu przez sumę całkowitej liczby danych plus jeden.

Zatem wzór kwantylowy wygląda następująco:

$p\cdot (n+1)$

Uwaga: ten wzór informuje nas o położeniu kwantyla, a nie o jego wartości. Kwantylem będą dane znajdujące się na pozycji otrzymanej ze wzoru.

Czasami jednak wynik tej formuły da nam liczbę dziesiętną. Musimy zatem rozróżnić dwa przypadki w zależności od tego, czy wynik jest liczbą dziesiętną, czy nie:

Jeżeli wynikiem wzoru jest liczba bez części dziesiętnej , kwantylem jest dana, która znajduje się na pozycji podanej we wzorze powyżej.
Jeżeli wynikiem wzoru jest liczba z częścią dziesiętną , dokładna wartość kwantyla jest obliczana przy użyciu następującego wzoru:

$C=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

Gdzie x _i oraz x _i+1 to numery pozycji, pomiędzy którymi znajduje się liczba uzyskana według pierwszego wzoru, a d to część dziesiętna liczby uzyskanej według pierwszego wzoru.

Jeśli uważasz, że obliczenie kwantyla jest bardzo skomplikowane, nie martw się. Przeczytaj poniższe przykłady, a przekonasz się, że to naprawdę proste.

Uwaga : w środowisku naukowym nadal nie ma zgody co do sposobu obliczania kwantyli, dlatego można znaleźć książkę statystyczną, która wyjaśnia to nieco inaczej.

Przykłady obliczeń kwantyli

Biorąc pod uwagę definicję kwantyla i teorię jego obliczania, poniżej znajdziesz rozwiązane ćwiczenie z obliczania poszczególnych kwantyli. Pomoże Ci to lepiej zrozumieć tę koncepcję.

Oblicz kwantyl rzędu 0,50 i kwantyl rzędu 0,81 poniższej próby statystycznej.

Problematyczne dane są już posortowane rosnąco, więc nie ma potrzeby ich zmieniać. W przeciwnym razie należałoby najpierw uporządkować dane.

Jak wyjaśniono powyżej, wzór na znalezienie położenia dowolnego kwantyla jest następujący:

$p\cdot (n+1)$

W tym przypadku wielkość próby wynosi 49 obserwacji, więc aby obliczyć kwantyl 0,50, musimy zastąpić n liczbą 49, a p wartością 0,50:

$0,5\cdot (49+1)=25\quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad C_{0,50}=250$

Zatem kwantyl 0,50 będzie wartością znajdującą się na dwudziestej piątej pozycji uporządkowanej listy, co odpowiada wartości 250.

Teraz ponownie stosujemy ten sam wzór, aby znaleźć kwantyl 0,81. Logicznie rzecz biorąc, w tym drugim przykładzie musimy zastąpić p przez 0,81.

$0,81\cdot (49+1)=40,5$

Ale tym razem otrzymaliśmy liczbę dziesiętną ze wzoru (40,5), co oznacza, że kwantyl będzie znajdował się pomiędzy pozycją 40 a pozycją 41. Dlatego też, aby wyznaczyć ten kwantyl, musimy skorzystać ze wzoru drugiej metody:

$C=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

W tym przypadku kwantyl będzie znajdował się pomiędzy pozycjami 40 a 41, których wartości wynoszą odpowiednio 286 i 289. W rezultacie x _i jest warte 286, x _i+1 jest warte 289, a d jest dziesiętną częścią otrzymanej liczby, tj. 0,5.

$C_{0,81}=286+0,5\cdot (289-286)=287,5$

Jak widać, obliczenie kwantyla zależy od tego, czy pierwszy wzór daje nam liczbę dziesiętną. Jeśli chcesz zobaczyć więcej przykładów, możesz zobaczyć więcej rozwiązanych ćwiczeń na różnych typach kwantyli tutaj:

➤ Zobacz: przykłady kwartylów
➤ Zobacz: przykłady kwintyli
➤ Zobacz: przykłady decyli
➤ Zobacz: przykłady percentyli

kalkulator kwantylowy

Wprowadź zestaw danych statystycznych i liczbę kwantyli, którą chcesz obliczyć, do poniższego kalkulatora. Liczby należy oddzielać spacją i wprowadzać z użyciem kropki jako separatora dziesiętnego.

Kwantyle w danych pogrupowanych

Aby obliczyć kwantyl, gdy dane są pogrupowane w przedziały, musimy najpierw znaleźć przedział lub przedział, w którym mieści się kwantyl, korzystając z następującego wzoru:

$p\cdot (n+1)$

Kwantyl będzie zatem znajdował się w przedziale, którego skumulowana częstotliwość bezwzględna jest bezpośrednio większa niż liczba uzyskana w poprzednim wyrażeniu.

Kiedy już znamy przedział, do którego należy kwantyl, musimy zastosować następujący wzór, aby znaleźć dokładną wartość kwantyla:

$C=L_i+ \cfrac{p\cdot (n+1)-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

Złoto:

_Li jest dolną granicą przedziału, w którym leży kwantyl.
n to całkowita liczba obserwacji.
F _i-1 jest skumulowaną częstotliwością bezwzględną poprzedniego przedziału.
f _i jest częstotliwością bezwzględną przedziału, w którym leży kwantyl.
I _i jest szerokością przedziału kwantylowego.

Aby pokazać, jak to zrobić, oto konkretny przykład obliczania kwantyli rzędu 0,29 i 0,62 dla zgrupowanych danych.

Aby obliczyć kwantyl 0,29, musimy najpierw znaleźć przedział, w którym się on znajduje. Aby to zrobić, używamy następującej formuły:

$p\cdot (n+1)$

$0,29\cdot (500+1)=145,29 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [350,375)$

Zatem kwantyl będzie się znajdował w przedziale, którego skumulowana częstotliwość bezwzględna jest bezpośrednio większa niż 145,29, co w tym przypadku jest przedziałem [350,375), którego skumulowana częstotliwość bezwzględna wynosi 175. A gdy już znamy przedział kwantylowy, używamy wzoru na drugą metoda:

$C=L_i+ \cfrac{p\cdot (n+1)-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

$C_{0,29}=350+ \cfrac{0,29\cdot (500+1)-131}{44}\cdot 25 =358,12$

Teraz ponownie stosujemy tę samą procedurę, aby uzyskać kwantyl 0,62. Najpierw obliczamy przedział, w którym kwantyl wynosi:

$0,62\cdot (500+1)=310,62 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [425,450)$

Przedział, którego skumulowana częstotliwość bezwzględna jest bezpośrednio większa niż 310,62, wynosi [425,450), a skumulowana częstotliwość bezwzględna wynosi 347. Dlatego dokładną wartość kwantyla obliczamy przy użyciu drugiego wzoru:

$C_{0,62}=425+ \cfrac{0,62\cdot (500+1)-298}{49}\cdot 25=431,44$

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej

Co to są kwantyle?

Rodzaje kwantyli

Jak obliczyć kwantyle

Przykłady obliczeń kwantyli

kalkulator kwantylowy

Kwantyle w danych pogrupowanych

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Dodaj komentarz