Normalne przybliżenie dwumianowe: definicja i przykład

Jeśli _ _ _ _ _

• µ = np
• σ = √ np(1-p)

Okazuje się, że jeśli n jest wystarczająco duże, to możemy zastosować rozkład normalny do przybliżenia prawdopodobieństw związanych z rozkładem dwumianowym. Nazywa się to normalnym przybliżeniem dwumianowym .

Aby n było „wystarczająco duże”, musi spełniać następujące kryteria:

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

Kiedy oba kryteria są spełnione, możemy użyć rozkładu normalnego, aby odpowiedzieć na pytania dotyczące prawdopodobieństwa związane z rozkładem dwumianowym.

Jednak rozkład normalny jest ciągłym rozkładem prawdopodobieństwa, podczas gdy rozkład dwumianowy jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa, dlatego przy obliczaniu prawdopodobieństw musimy zastosować korekcję ciągłości.

Mówiąc najprościej, korekta ciągłości to nazwa nadana dodaniu lub odjęciu 0,5 od dyskretnej wartości x.

Załóżmy na przykład, że chcemy znaleźć prawdopodobieństwo, że moneta wyląduje na orle mniejszym lub równym 45 razy w ciągu 100 rzutów. Oznacza to, że chcemy znaleźć P(X ≤ 45). Aby użyć rozkładu normalnego do przybliżenia rozkładu dwumianowego, zamiast tego znaleźlibyśmy P(X ≤ 45,5).

Poniższa tabela pokazuje, kiedy należy dodać lub odjąć 0,5, w zależności od rodzaju prawdopodobieństwa, które próbujesz znaleźć:

Poniższy przykład pokazuje krok po kroku, jak wykorzystać rozkład normalny do przybliżenia rozkładu dwumianowego.

Przykład: normalne przybliżenie dwumianu

Załóżmy, że chcemy poznać prawdopodobieństwo, że moneta wyląduje na orle mniejszym lub równym 43 razy w 100 rzutach.

W tej sytuacji mamy następujące wartości:

• n (liczba prób) = 100
• X (liczba sukcesów) = 43
• p (prawdopodobieństwo sukcesu w danej próbie) = 0,50

Aby obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki mniejsze lub równe 43 razy, możemy wykonać następujące kroki:

Krok 1: Sprawdź, czy wielkość próbki jest wystarczająco duża, aby zastosować normalne przybliżenie.

Przede wszystkim musimy sprawdzić, czy spełnione są następujące kryteria:

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

W tym przypadku mamy:

• np = 100*0,5 = 50
• n(1-p) = 100*(1 – 0,5) = 100*0,5 = 50

Obie liczby są większe od 5, więc możemy bezpiecznie zastosować przybliżenie normalne.

Krok 2: Określ korekcję ciągłości, którą należy zastosować.

Odnosząc się do powyższej tabeli, widzimy, że pracując z prawdopodobieństwem w postaci X ≤ 43, powinniśmy dodać 0,5. W ten sposób znajdziemy P(X< 43,5).

Krok 3: Znajdź średnią (μ) i odchylenie standardowe (σ) rozkładu dwumianowego.

µ = n*p = 100*0,5 = 50

σ = √ n*p*(1-p) = √ 100*,5*(1-,5) = √ 25 = 5

Krok 4: Znajdź wynik z, korzystając ze średniej i odchylenia standardowego znalezionych w poprzednim kroku.

z = (x – μ) / σ = (43,5 – 50) / 5 = -6,5 / 5 = -1,3.

Krok 5: Znajdź prawdopodobieństwo powiązane z wynikiem Z.

Możemy użyć normalnego kalkulatora CDF, aby stwierdzić, że pole pod standardową krzywą normalną na lewo od -1,3 wynosi 0,0968 .

Zatem prawdopodobieństwo, że w 100 rzutach na monecie wypadnie orzeł mniejszy lub równy 43 razy, wynosi 0,0968 .

Ten przykład ilustruje, co następuje:

• Mieliśmy sytuację, w której zmienna losowa miała rozkład dwumianowy.
• Chcieliśmy znaleźć prawdopodobieństwo otrzymania określonej wartości dla tej zmiennej losowej.
• Ponieważ wielkość próby (n = 100 prób) była wystarczająco duża, mogliśmy zastosować rozkład normalny do przybliżenia rozkładu dwumianowego.

To jest kompletny przykład wykorzystania przybliżenia normalnego do znalezienia prawdopodobieństw związanych z rozkładem dwumianowym.