Jak obliczyć stopnie swobody dla dowolnego testu t

W statystyce powszechnie stosuje się trzy testy t:

Test t dla jednej próby : używany do porównania średniej populacji z określoną wartością.

Test t dla dwóch prób : używany do porównania średnich z dwóch populacji.

Test t dla par prób : używany do porównania średnich z dwóch populacji, gdy każdą obserwację w jednej próbie można powiązać z obserwacją w drugiej próbie.

Wykonując każdy test t, będziesz musiał obliczyć statystykę testową i odpowiadające jej stopnie swobody .

Oto jak obliczyć stopnie swobody dla każdego typu testu:

Test t dla jednej próby: df = n-1 gdzie n to całkowita liczba obserwacji.

Test t dla dwóch prób: df = n ₁ + n ₂ – 2 gdzie n ₁ , n ₂ to suma obserwacji każdej próbki.

Test t dla par próbek: n-1 gdzie n to całkowita liczba par.

Poniższe przykłady pokazują, jak w praktyce obliczyć stopnie swobody dla każdego typu testu t.

Przykład 1: Stopnie swobody dla testu t dla jednej próby

Załóżmy, że chcemy wiedzieć, czy średnia waga określonego gatunku żółwia wynosi 310 funtów.

Załóżmy, że zbieramy losową próbkę żółwi z następującymi informacjami:

• Wielkość próby n = 40
• Średnia masa próbki x = 300
• Próbka odchylenie standardowe s = 18,5

Przeprowadzimy test t dla jednej próby, przyjmując następujące hipotezy:

• H ₀ : μ = 310 (średnia populacji wynosi 310 książek)
• H _A : μ ≠ 310 (średnia populacja nie jest równa 310 funtów)

Najpierw obliczymy statystykę testową:

t = ( x – μ) / (s/ √n ) = (300-310) / (18,5/ √40 ) = -3,4187

Następnie obliczymy stopnie swobody:

df = n -1 = 40 – 1 = 39

Na koniec podłączymy statystyki testowe i stopnie swobody do kalkulatora wartości P T-score , aby stwierdzić, że wartość p wynosi 0,00149 .

Ponieważ ta wartość p jest poniżej naszego poziomu istotności α = 0,05, odrzucamy hipotezę zerową. Mamy wystarczające dowody, aby stwierdzić, że średnia waga tego gatunku żółwia nie jest równa 310 funtów.

Przykład 2: Stopnie swobody dla testu t dla dwóch próbek

Załóżmy, że chcemy wiedzieć, czy średnia waga dwóch różnych gatunków żółwi jest równa, czy nie.

Załóżmy, że zbieramy losową próbkę żółwi z każdej populacji, zawierając następujące informacje:

Próbka 1:

• Wielkość próby n ₁ = 40
• Średnia masa próbki x ₁ = 300
• Przykładowe odchylenie standardowe s ₁ = 18,5

Próbka 2:

• Wielkość próby n ₂ = 38
• Średnia masa próbki x ₂ = 305
• Przykładowe odchylenie standardowe s ₂ = 16,7

Przeprowadzimy test t dla dwóch prób przy następujących założeniach:

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (średnie z obu populacji są równe)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (średnie z obu populacji nie są równe)

Najpierw obliczymy zbiorcze odchylenie standardowe s _p :

s _p = √ (n ₁ -1)s ₁ ² + (n ₂ -1)s ₂ ² / (n ₁ +n ₂ -2) = √ ( 40-1)18,5 ² + (38-1) 16,7 ² / (40+38-2) = 17,647

Następnie obliczymy statystykę testu t :

t = ( x ₁ – x ₂ ) / s _p (√ 1/n ₁ + 1/n ₂ ) = (300-305) / 17,647(√ 1/40 + 1/38 ) = -1,2508

Następnie obliczymy stopnie swobody:

df = n ₁ + n ₂ – 2 = 40 + 38 – 2 = 76

Na koniec podłączymy statystyki testowe i stopnie swobody do kalkulatora wartości P T-score , aby stwierdzić, że wartość p wynosi 0,21484 .

Ponieważ ta wartość p nie jest niższa niż nasz poziom istotności α = 0,05, nie możemy odrzucić hipotezy zerowej. Nie mamy wystarczających dowodów, aby stwierdzić, że średnia waga żółwi w tych dwóch populacjach jest różna.

Przykład 3: Stopnie swobody dla testu t dla sparowanych próbek

Załóżmy, że chcemy wiedzieć, czy określony program treningowy jest w stanie zwiększyć maksymalny skok w pionie (w calach) u koszykarzy z college’u.

Aby to przetestować, możemy wybrać prostą losową próbę 20 koszykarzy z college’u i zmierzyć każdy z ich maksymalnych skoków w pionie. Następnie możemy pozwolić każdemu zawodnikowi korzystać z programu treningowego przez miesiąc, a następnie pod koniec miesiąca ponownie zmierzyć jego maksymalny skok wzwyż.

Aby ustalić, czy program treningowy rzeczywiście miał wpływ na maksymalny skok w pionie, przeprowadzimy test t dla sparowanych próbek.

Najpierw obliczymy następujące dane podsumowujące różnice:

• x _diff : średnia z prób różnic = -0,95
• s: odchylenie standardowe próby różnic = 1,317
• n: wielkość próby (tj. liczba par) = 20

Przeprowadzimy test t dla par próbek przy następujących założeniach:

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (średnie z obu populacji są równe)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (średnie z obu populacji nie są równe)

Następnie obliczymy statystykę testową:

t = x _różnica / (s _różnica /√n) = -0,95 / (1,317/√20) = -3,226

Następnie obliczymy stopnie swobody :

df = n – 1 = 20 – 1 = 19

Według kalkulatora wyniku T do wartości P , wartość p związana z t = -3,226 i stopniami swobody = n-1 = 20-1 = 19 wynosi 0,00445 .

Ponieważ ta wartość p jest poniżej naszego poziomu istotności α = 0,05, odrzucamy hipotezę zerową. Mamy wystarczające dowody, aby stwierdzić, że średni maksymalny skok pionowy zawodników różni się przed i po wzięciu udziału w programie treningowym.

Dodatkowe zasoby

Poniższe kalkulatory mogą służyć do automatycznego wykonywania testów t na podstawie podanych danych:

Przykład kalkulatora testu t
Kalkulator testu t dla dwóch próbek
Kalkulator testu t dla sparowanych próbek