Oczekiwanie matematyczne (lub wartość oczekiwana)

Przez Benjamin Anderson 5 sierpnia, 2023 Prawdopodobieństwo 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym jest matematyczne oczekiwanie (lub wartość oczekiwana) zmiennej losowej i jak je obliczyć. Znajdziesz rozwiązane ćwiczenie nadziei matematycznej. Dodatkowo możesz znaleźć oczekiwaną wartość dowolnego zestawu danych za pomocą kalkulatora online.

Co to jest oczekiwanie matematyczne (lub wartość oczekiwana)?

W statystyce oczekiwanie , zwane także wartością oczekiwaną , to liczba reprezentująca średnią wartość zmiennej losowej. Oczekiwanie matematyczne jest równe sumie wszystkich iloczynów utworzonych przez wartości zdarzeń losowych i odpowiednie prawdopodobieństwa ich wystąpienia.

Symbolem oczekiwania jest duża litera E, na przykład oczekiwanie zmiennej statystycznej X jest reprezentowane przez E(X).

Podobnie wartość oczekiwań matematycznych zbioru danych pokrywa się z jego średnią (średnią populacji).

Jak obliczyć oczekiwanie matematyczne

Aby obliczyć oczekiwanie matematyczne zmiennej dyskretnej, należy wykonać następujące kroki:

Pomnóż każde możliwe zdarzenie przez prawdopodobieństwo jego wystąpienia.
Dodaj wszystkie wyniki uzyskane w poprzednim kroku.
Uzyskana wartość jest matematycznym oczekiwaniem (lub wartością oczekiwaną) zmiennej.

Zatem wzór na obliczenie matematycznego oczekiwania (lub wartości oczekiwanej) zmiennej dyskretnej jest następujący:

oczekiwanie matematyczne lub wartość oczekiwana

👉 Za pomocą poniższego kalkulatora możesz obliczyć oczekiwaną wartość dowolnego zbioru danych.

Należy pamiętać, że powyższy wzór można zastosować tylko wtedy, gdy zmienna losowa jest dyskretna (w większości przypadków). Ale jeśli zmienna jest ciągła, musimy użyć następującego wzoru, aby uzyskać oczekiwanie matematyczne:

$\displaystyle E(X)=\int_\mathbb{R} x\cdot f_x(x) dx$

Złoto

$f_x$

jest funkcją gęstości zmiennej ciągłej

przykład oczekiwań matematycznych

Biorąc pod uwagę definicję wartości oczekiwanej (lub wartości oczekiwanej), poniżej znajduje się konkretny przykład, dzięki któremu można zobaczyć, w jaki sposób przeprowadzane są obliczenia.

Osoba uczestniczy w grze, w której może wygrać lub przegrać pieniądze w oparciu o liczbę pojawiającą się podczas rzutu kostką. Jeśli wyrzucisz 1, wygrasz 800 $, jeśli wyrzucisz 2 lub 3, stracisz 500 $, a jeśli wyrzucisz 4, 5 lub 6, wygrasz 100 $. Cena uczestnictwa wynosi 50 dolarów. Czy poleciłbyś udział w tej grze prawdopodobieństwa?

Pierwszą rzeczą do zrobienia jest określenie prawdopodobieństwa każdego zdarzenia. Ponieważ kość ma sześć ścian, prawdopodobieństwo wyrzucenia dowolnej liczby wynosi:

$p(\text{obtener un n\'umero})=\cfrac{1}{6}$

Prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia wynosi zatem:

$p(\text{ganar }\$800)=\cfrac{1}{6}$

$p(\text{perder }\$500)=2\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{2}{6}$

$p(\text{ganar }\$100)=3\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{3}{6}$

Teraz, gdy znamy prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia, stosujemy wzór matematyczny na oczekiwanie:

$\displaystyle E(X)=\sum_{i=1}^nx_i\cdot p_i$

I obliczamy oczekiwanie matematyczne (lub wartość oczekiwaną):

$E(X)=800\cdot\cfrac{1}{6}-500\cdot \cfrac{2}{6}+100\cdot\cfrac{3}{6}=\$16,67$

Oczekiwana wartość jest mniejsza niż cena uczestnictwa w tej grze, więc lepiej nie grać, bo na dłuższą metę skończy się to stratą pieniędzy. Może się zdarzyć, że jeśli weźmiesz udział dopiero, gdy liczba ta osiągnie 1, osiągniesz duży zysk, ale prawdopodobieństwo poniesienia strat w dłuższej perspektywie jest wysokie.

Należy zauważyć, że wynik oczekiwań matematycznych jest czasem wartością niemożliwą do osiągnięcia, np. w tym przypadku nie można uzyskać 16,67 USD.

Kalkulator oczekiwań

Wprowadź zestaw danych statystycznych do poniższego kalkulatora, aby obliczyć wartość oczekiwaną. W pierwszym polu należy wpisać wartość każdego zdarzenia, a w drugim – jego prawdopodobieństwo wystąpienia, w tej samej kolejności.

Dane należy oddzielić spacją i wprowadzić z użyciem kropki jako separatora dziesiętnego.

Właściwości oczekiwań matematycznych

Właściwości oczekiwań matematycznych są następujące:

Matematyczne oczekiwanie na stałą jest samo w sobie.

$E(k)=k$

Oczekiwanie zmiennej losowej pomnożonej przez skalar jest równe oczekiwaniu tej zmiennej pomnożonemu przez ten skalar.

$E(k\cdot X)=k\cdot E(X)$

Matematyczne oczekiwanie sumy dwóch zmiennych jest równoważne sumie matematycznych oczekiwań każdej zmiennej.

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

Ogólnie rzecz biorąc, pomnożenie dwóch zmiennych daje inne oczekiwania matematyczne. Wynik jest taki sam tylko wtedy, gdy zmienne są niezależne.

$E(X\cdot Y)\neq E(X)\cdot E(Y)$

Jeśli wszystkie wartości zmiennej są większe lub równe zero, wówczas matematyczne oczekiwanie tej zmiennej jest również dodatnie lub równe zero.

$X\geq 0 \ \longrightarrow \ E(X)\geq 0$

Jeśli wszystkie wartości jednej zmiennej są mniejsze niż wszystkie wartości innej zmiennej, oczekiwania wobec obu zmiennych mają tę samą zależność.

$X\leq Y \ \longrightarrow \ E(X)\leq E(Y)$

Jeśli wiemy, że zmienna jest ograniczona przez dwie wartości, jej matematyczne oczekiwanie również jest logicznie ograniczone.

$a <ul> <li> Si une variable est la combinaison linéaire d’une autre variable, ses attentes mathématiques satisfont à la même relation algébrique : </li> </ul> <p>[latex]Y=a+bX \ \longrightarrow \ E(Y)=a+b\cdot E(X)” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”41″ width=”1116″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> <h2 class=$ Do czego służy oczekiwanie matematyczne?

W tej ostatniej części zagłębimy się w znaczenie nadziei matematycznej. Konkretnie zobaczymy, do czego służy ta miara statystyczna, a tym samym lepiej zrozumiemy tę koncepcję.

Oczekiwanie matematyczne (lub wartość oczekiwana) służy do określenia wartości kwoty, którą można zyskać lub stracić w długim okresie, w przestrzeni probabilistycznej. Innymi słowy, oczekiwanie matematyczne wskazuje zwrot, który zostanie uzyskany w dłuższej perspektywie.

Kiedy dana osoba rozważa dokonanie inwestycji, na przykład zakup akcji spółki, jednym z parametrów, które należy wziąć pod uwagę, są oczekiwania matematyczne. Ponieważ jeśli dokonasz tej inwestycji kilka razy, uzyskany zwrot ekonomiczny będzie wartością oczekiwań matematycznych. Można go uznać za średnią uzyskanych korzyści.

Podobnie oczekiwania matematyczne są również wykorzystywane w innych dziedzinach, takich jak ekonometria, fizyka kwantowa, handel, a nawet biologia.

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej