Ogólna zasada mnożenia (objaśnienie i przykłady)

Ogólna zasada mnożenia mówi, że prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnych dwóch zdarzeń A i B można obliczyć w następujący sposób:

P(A i B) = P(A) * P(B|A)

Pionowy pasek | oznacza „dany”. Zatem P(B|A) można odczytać jako „prawdopodobieństwo wystąpienia B, zakładając , że wystąpiło A”.

Jeśli zdarzenia A i B są niezależne, to P(B|A) jest po prostu równe P(B) i regułę można uprościć w następujący sposób:

P(A i B) = P(A) * P(B)

Przyjrzyjmy się kilku przykładom zdarzeń niezależnych i zależnych, aby zobaczyć, jak możemy zastosować tę ogólną zasadę mnożenia w praktyce.

Ogólna zasada mnożenia dla zdarzeń zależnych

Poniższe przykłady ilustrują, jak używać ogólnej reguły mnożenia do znajdowania prawdopodobieństw związanych z dwoma zależnymi zdarzeniami. W każdym przykładzie na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego zdarzenia wpływa wynik pierwszego zdarzenia.

Przykład 1: kule w urnie

W urnie znajdują się 4 kule czerwone i 3 zielone. Bob losowo wybierze z urny 2 kule, bez ich ponownego umieszczania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierze 2 czerwone kule?

Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wybierze czerwoną kulę, wynosi 4/7. Po usunięciu tej kuli prawdopodobieństwo, że przy drugiej próbie wybierze kulę czerwoną, wynosi 3/6. Zatem prawdopodobieństwo, że wybierze 2 czerwone kule, można obliczyć w następujący sposób:

P (oba czerwone) = 4/7 * 3/7 ≈ 0,2249

Przykład 2: karty w talii

Talia kart zawiera 26 kart czarnych i 26 kart czerwonych. Debbie losowo wybierze 2 karty z talii, bez ich zastępowania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierze 2 czerwone kartki?

Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo, że w pierwszej próbie wybierze czerwoną kartkę, wynosi 26/52. Po usunięciu tej karty prawdopodobieństwo, że przy drugiej próbie wybierze czerwoną kartkę, wynosi 25/51. Zatem prawdopodobieństwo, że wybierze 2 czerwone kartki, można obliczyć w następujący sposób:

P (oba czerwone) = 26/52 * 25/51 ≈ 0,2451

Ogólna zasada mnożenia dla zdarzeń niezależnych

Poniższe przykłady ilustrują, jak używać ogólnej reguły mnożenia do znajdowania prawdopodobieństw związanych z dwoma niezależnymi zdarzeniami. W każdym przykładzie na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego zdarzenia nie ma wpływu wynik pierwszego zdarzenia.

Przykład 1: rzuć dwie monety

Załóżmy, że losujemy dwie monety. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na obu monetach wypadnie reszka?

Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo, że jako pierwsza wypadnie reszka, wynosi 1/2. Niezależnie od tego, po której stronie wyląduje pierwsza moneta, prawdopodobieństwo, że druga moneta wypadnie reszką, również wynosi 1/2. Zatem prawdopodobieństwo, że na obu monetach wypadnie reszka, można obliczyć w następujący sposób:

P (oba lądują na głowach) = 1/2 * 1/2 = 0,25

Przykład 2: Rzuć dwiema kostkami

Załóżmy, że rzucamy dwiema kostkami na raz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie kostki wylądują na liczbie 1?

Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo, że pierwsza kostka wypadnie na „1” wynosi 1/6. Niezależnie od tego, po której stronie wyląduje pierwsza kość, prawdopodobieństwo, że druga kość wypadnie na „1”, również wynosi 1/6. Zatem prawdopodobieństwo, że obie kości wylądują na „1”, można obliczyć w następujący sposób:

P(Oba lądują na „1”) = 1/6 * 1/6 = 1/36 ≈ 0,0278