Operacje na zdarzeniach

Przez Benjamin Anderson 6 sierpnia, 2023 Prawdopodobieństwo 0 komentarzy

Tutaj wyjaśniamy, jakie operacje można wykonać na zdarzeniach i jak obliczany jest każdy typ operacji na zdarzeniach. Dodatkowo możesz ćwiczyć, wykonując ćwiczenia krok po kroku dotyczące operacji na zdarzeniach.

Rodzaje operacji na zdarzeniach

W teorii prawdopodobieństwa istnieją trzy rodzaje operacji na zdarzeniach, którymi są:

Suma zdarzeń : prawdopodobieństwo wystąpienia tego lub innego zdarzenia.
Przecięcie zdarzeń : jest to łączne prawdopodobieństwo dwóch lub więcej zdarzeń.
Różnica w zdarzeniu : Jest to prawdopodobieństwo, że jedno zdarzenie wystąpi, ale inne nie wystąpi w tym samym czasie.

Po prostu definiując każdy typ operacji na zdarzeniach, trudno jest zrozumieć, w jaki sposób każdy typ operacji jest wykonywany. Dlatego poniżej wyjaśnimy te trzy operacje bardziej szczegółowo.

połączenie wydarzeń

Suma dwóch zdarzeń A i B to prawdopodobieństwo, że zdarzenie A, zdarzenie B lub oba zdarzenia wystąpią w tym samym czasie.

Symbolem połączenia dwóch różnych wydarzeń jest litera U, więc połączenie dwóch wydarzeń wyraża się literą U pośrodku dwóch liter reprezentujących te zdarzenia.

$A\cup B$

Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństwa wystąpienia każdego zdarzenia pomniejszonej o prawdopodobieństwo przecięcia się dwóch zdarzeń.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Na przykład obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia „wyrzucimy liczbę parzystą” lub „wyrzucimy liczbę większą niż 4” podczas rzucania kostką.

Istnieją trzy możliwości uzyskania parzystej liczby przy rzucie kostką (2, 4 i 6), więc prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia wynosi:

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

Z drugiej strony są tylko dwie liczby większe od czterech (5 i 6), zatem ich prawdopodobieństwo wynosi:

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

A przecięcie dwóch zdarzeń odpowiada liczbom, które pojawiają się w obu zdarzeniach, więc:

$A\cap B=\{6\}$

$P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}=0,167$

Krótko mówiąc, łącząc zdarzenia A i B, prawdopodobieństwo wystąpienia będzie wynosić:

$\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}$

skrzyżowanie wydarzeń

Przecięcie dwóch zdarzeń A i B to prawdopodobieństwo, że oba zdarzenia A i B wystąpią w tym samym czasie.

Symbol przecięcia dwóch zdarzeń jest reprezentowany przez odwrócone U.

$A\cap B$

Prawdopodobieństwo przecięcia dwóch zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw każdego zdarzenia z osobna.

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Oczywiście, aby obliczyć prawdopodobieństwo przecięcia dwóch zdarzeń, te dwa zdarzenia muszą być zgodne.

➤ Zobacz: Jakie wydarzenia są kompatybilne?

Jako przykład obliczymy prawdopodobieństwo, że zdarzenia „uzyskają liczbę parzystą” i „uzyskają liczbę większą niż 4” przetną się podczas rzutu kostką.

Jak obliczyliśmy powyżej, prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia z osobna wynosi:

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

Zatem prawdopodobieństwo przecięcia dwóch zdarzeń będzie pomnożeniem prawdopodobieństw każdego zdarzenia:

$\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,5\cdot 0,33\\[2ex] &=0,167\end{aligned}$

różnica wydarzeń

Różnica dwóch zdarzeń A minus B odpowiada wszystkim elementarnym zdarzeniom A, których nie ma w B. Innymi słowy, w różnicy dwóch zdarzeń A minus B zdarzenie A jest spełnione, ale zdarzenie B nie może być spełnione jednocześnie.

$A-B$

Prawdopodobieństwo różnicy między dwoma zdarzeniami A i B jest równe prawdopodobieństwu wystąpienia zdarzenia A minus prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń elementarnych wspólnych dla A i B.

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

Kierując się tym samym przykładem co w dwóch poprzednich rodzajach operacji, prawdopodobieństwo tego zdarzenia wyznaczymy z różnicy zdarzenia „uzyskanie liczby parzystej” minus „uzyskanie liczby większej niż 4” podczas rzutu kostkami.

Prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzeń A, B i ich przecięcia są następujące (szczegółowe obliczenia możesz zobaczyć powyżej):

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$A\cap B= \{6\}$

$P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}= 0,167$

Prawdopodobieństwo wystąpienia różnicy między dwoma zdarzeniami wynosi zatem:

$\begin{aligned}P(A-B)&=P(A)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5-0,167\\[2ex] & =0,33\end{aligned}$

Co ciekawe, różnica zdarzeń AB ma tę właściwość, że jest również równoważna przecięciu zdarzenia A i zdarzenia uzupełniającego (lub przeciwnego) zdarzenia B.

$A-B=A\cap\overline{B}$

➤ Zobacz: Co to jest wydarzenie uzupełniające?

Rozwiązane ćwiczenia dotyczące operacji na zdarzeniach

Ćwiczenie 1

Jeśli rzucisz sześciościenną kostką, jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymasz liczbę nieparzystą lub liczbę mniejszą niż 3?

zobacz rozwiązanie

W tym ćwiczeniu musimy obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia tego lub innego zdarzenia, a zatem musimy znaleźć prawdopodobieństwo połączenia tych dwóch zdarzeń.

Dlatego najpierw obliczamy prawdopodobieństwo otrzymania liczby nieparzystej, stosując prawo Laplace’a:

$P(\text{n\'umero impar})=\cfrac{3}{6}=0,5$

Po drugie, określamy prawdopodobieństwo otrzymania liczby mniejszej niż 3:

$P(\text{n\'umero menor que 3})=\cfrac{2}{6}=0,33$

Obliczmy teraz prawdopodobieństwo powtórzenia się zdarzeń elementarnych, które jest tylko liczbą 1 (tylko nieparzystą mniejszą niż 3):

$P(\text{n\'umero impar y menor que 3})=\cfrac{1}{6}=0,167$

Na koniec stosujemy wzór na sumę dwóch zdarzeń, aby obliczyć ich prawdopodobieństwo:

$\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}$

Ćwiczenie 2

Do pudełka wkładamy 3 kule pomarańczowe, 2 niebieskie i 5 białych. Wykonujemy losowy eksperyment polegający na podniesieniu piłki, włożeniu jej z powrotem do pudełka, a następnie wyjęciu kolejnej piłki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszym przypadku wylosujemy kulę niebieską, a w drugiej pomarańczową?

zobacz rozwiązanie

Aby rozwiązać ten problem, musimy obliczyć przecięcie dwóch zdarzeń, ponieważ chcemy, aby oba zdarzenia elementarne były prawdziwe.

Dlatego najpierw obliczamy prawdopodobieństwo złapania niebieskiej piłki, stosując regułę Laplace’a:

$P(\text{sacar bola azul})=\cfrac{2}{3+2+5}=0,2$

Następnie znajdujemy prawdopodobieństwo otrzymania kulki pomarańczowej:

$P(\text{sacar bola naranja})=\cfrac{3}{3+2+5}=0,3$

I na koniec obliczamy prawdopodobieństwo przecięcia dwóch zdarzeń, mnożąc dwa znalezione prawdopodobieństwa:

$\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,2\cdot 0,3\\[2ex] &=0,06\end{aligned}$

Podsumowując, szansa na złapanie niebieskiej piłki w pierwszej próbie i pomarańczowej w drugiej próbie wynosi tylko 6%.

Ćwiczenie 3

Prawdopodobieństwo, że Marta zda egzamin wynosi 1/3, a prawdopodobieństwo, że Juan zda ten sam egzamin wynosi 2/5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Marta odniesie sukces, a Juan poniesie porażkę?

zobacz rozwiązanie

W tym ćwiczeniu musimy obliczyć różnicę między tymi dwoma zdarzeniami, ponieważ chcemy, aby Marta wyraziła zgodę, ale nie Juan. W tym celu wystarczy skorzystać ze wzoru na tego typu operacje na zdarzeniach:

$\begin{array}{l}\displaystyle A-B =A\cap\overline{B}=\\[2ex]\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \left(1-\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}=\\[3ex] =\cfrac{3}{15} = 0,2\end{array}$

Prawdopodobieństwo, że Marta odniesie sukces, a Juan poniesie porażkę w tym samym czasie, wynosi zatem 20%.

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej

Rodzaje operacji na zdarzeniach

połączenie wydarzeń

skrzyżowanie wydarzeń

różnica wydarzeń

Rozwiązane ćwiczenia dotyczące operacji na zdarzeniach

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Dodaj komentarz