Średnia, mediana i moda

Przez Benjamin Anderson 5 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym są średnia, mediana i moda. Dowiesz się, jak uzyskać średnią, medianę i modę, do czego się je wykorzystuje i jaka jest różnica między tymi trzema miarami statystycznymi. Dodatkowo będziesz mógł obliczyć średnią, medianę i modę dowolnej próbki statystycznej za pomocą kalkulatora online na końcu.

Jaka jest średnia, mediana i moda?

Średnia, mediana i tryb są statystycznymi miarami położenia centralnego. Innymi słowy, średnia, mediana i moda to wartości, które pomagają zdefiniować próbkę statystyczną, w szczególności wskazują, jakie są jej wartości centralne.

Średnią, medianę i modę definiuje się w następujący sposób:

Średnia : jest średnią wszystkich danych w próbie.
Mediana : Jest to środkowa wartość wszystkich danych uporządkowanych od najmniejszej do największej.
Tryb : jest to najczęściej powtarzana wartość w zbiorze danych.

Te trzy miary statystyczne wyjaśniono bardziej szczegółowo poniżej.

Połowa

Aby obliczyć średnią, dodaj wszystkie wartości, a następnie podziel przez całkowitą liczbę danych. Wzór na średnią jest zatem następujący:

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i}{N}$

👉 Możesz skorzystać z poniższego kalkulatora, aby obliczyć średnią, medianę i modę dowolnego zbioru danych.

Symbol średniej to poziomy pasek nad literą x

$(\overline{x}).$

Możesz także odróżnić średnią próbki od średniej populacji za pomocą symbolu średniej: średnia próbki jest wyrażana za pomocą symbolu

$\overline{x}$

, podczas gdy średnia populacji używa greckiej litery

$\mu.$

Średnia jest również nazywana średnią arytmetyczną lub średnią . Co więcej, średnia rozkładu statystycznego jest równoważna jego matematycznym oczekiwaniom.

Przeciętny przykład

Uczeń uzyskał w ciągu roku szkolnego następujące oceny: z matematyki 9, z języka 7, z historii 6, z ekonomii 8 i nauk przyrodniczych 7,5. Jaka jest średnia wszystkich twoich ocen?

Aby obliczyć średnią arytmetyczną, należy dodać wszystkie oceny, a następnie podzielić przez całkowitą liczbę przedmiotów na kursie, czyli 5. Dlatego stosujemy wzór na średnią arytmetyczną:

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i}{N}$

Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy średnią arytmetyczną:

$\overline{x}=\cfrac{9+7+5+8+7,5}{5}=7,3$

Jak widać, w średniej arytmetycznej każdej wartości przypisuje się tę samą wagę, czyli każda porcja danych ma tę samą wagę w całości.

Mediana

Mediana to środkowa wartość wszystkich danych uporządkowanych od najmniejszej do największej. Innymi słowy, mediana dzieli uporządkowany zbiór danych na dwie równe części.

Obliczenie mediany zależy od tego, czy łączna liczba danych jest parzysta czy nieparzysta:

Jeśli całkowita liczba danych jest nieparzysta , medianą będzie wartość mieszcząca się w samym środku danych. To znaczy wartość znajdująca się na pozycji (n+1)/2 posortowanych danych.

$Me=x_{\frac{n+1}{2}$

Jeśli całkowita liczba punktów danych jest parzysta , mediana będzie średnią z dwóch punktów danych znajdujących się w środku. Oznacza to średnią arytmetyczną wartości znajdujących się na pozycjach n/2 i n/2+1 uporządkowanych danych.

$Me=\cfrac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$

Złoto

$n$

to całkowita liczba elementów danych w próbie.

Termin Me jest często używany jako symbol wskazujący, że wartość jest medianą wszystkich obserwacji.

👉 Możesz skorzystać z poniższego kalkulatora, aby obliczyć średnią, medianę i modę dowolnego zbioru danych.

Przykład mediany

Znajdź medianę następujących danych: 3, 4, 1, 6, 7, 4, 8, 2, 8, 4, 5

Pierwszą rzeczą, którą należy zrobić przed wykonaniem obliczeń, jest klasyfikacja danych, czyli ułożenie liczb od najmniejszej do największej.

$1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 4 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \ 8$

W tym przypadku mamy 11 obserwacji, więc łączna liczba danych jest nieparzysta. Dlatego do obliczenia położenia mediany stosujemy następujący wzór:

$\cfrac{n+1}{2}=\cfrac{11+1}{2}=6$

Medianą będą zatem dane znajdujące się na szóstej pozycji, co w tym przypadku odpowiada wartości 4.

$Me=x_6=4$

Moda

W statystyce tryb to wartość w zbiorze danych, która ma najwyższą częstotliwość bezwzględną, to znaczy tryb jest najczęściej powtarzaną wartością w zbiorze danych.

Dlatego, aby obliczyć modę zbioru danych statystycznych, wystarczy policzyć, ile razy każdy element danych pojawia się w próbce, a modą będą najczęściej powtarzające się dane.

Tryb można również nazwać trybem statystycznym lub wartością modalną . Podobnie, gdy dane są pogrupowane w interwały, najczęściej powtarzającym się interwałem jest interwał modalny lub klasa modalna .

Ogólnie termin Mo jest używany jako symbol trybu statystycznego, na przykład tryb rozkładu X to Mo(X).

Ze względu na liczbę najczęściej powtarzanych wartości można wyróżnić trzy typy trybów:

Tryb unimodalny : istnieje tylko jedna wartość z maksymalną liczbą powtórzeń. Na przykład [1, 4, 2, 4, 5, 3].
Tryb bimodalny : Maksymalna liczba powtórzeń występuje przy dwóch różnych wartościach, a obie wartości powtarzane są taką samą liczbę razy. Na przykład [2, 6, 7, 2, 3, 6, 9].
Tryb multimodalny : Trzy lub więcej wartości mają tę samą maksymalną liczbę powtórzeń. Na przykład [3, 3, 4, 1, 3, 4, 2, 1, 4, 5, 2, 1].

👉 Możesz skorzystać z poniższego kalkulatora, aby obliczyć średnią, medianę i modę dowolnego zbioru danych.

przykład mody

Jaki jest tryb następującego zbioru danych?

$5 \ 4 \ 9 \ 7 \ 2 \ 3 \ 9 \ 6 \ 5 \ 2 \ 5$

Liczby są niewłaściwie uporządkowane, więc pierwszą rzeczą, którą zrobimy, będzie je posortować. Ten krok nie jest obowiązkowy, ale pomoże Ci łatwiej znaleźć modę.

$2 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 5 \ 5 \ 6 \ 7 \ 9 \ 9$

Cyfry 2 i 9 pojawiają się dwukrotnie, natomiast cyfra 5 powtarza się trzykrotnie. Dlatego mod serii danych ma numer 5.

$Mo=5$

Rozwiązane ćwiczenie średniej, mediany i trybu

Teraz, gdy już wiesz, czym jest średnia, mediana i moda, poniżej znajduje się szczegółowe ćwiczenie dotyczące tych miar statystycznych, dzięki czemu możesz dokładnie zobaczyć, jak są one obliczane.

Znajdź średnią, medianę i modę następującego zbioru danych statystycznych:

$8 \ 7 \ 0 \ 6 \ 10 \ 9 \ 13 \ 8 \ 0 \ 6 \ 2 \ 6 \ 5 \ 11 \ 10$

$0 \ 9 \ 8 \ 6 \ 12 \ 3 \ 5 \ 11 \ 1 \ 4 \ 8 \ 10 \ 2 \ 5 \ 7$

Aby znaleźć średnią danych, musimy to wszystko dodać, a następnie podzielić przez całkowitą liczbę danych, która wynosi 30:

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i}{N}=\frac{192}{30}=6,4$

Po drugie, znajdźmy medianę próbki. Ustawiamy więc wszystkie liczby w kolejności rosnącej:

$0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 2 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 5 \ 5 \ 6 \ 6 \ 6 \ 6$

$7 \ 7 \ 8 \ 8 \ 8 \ 8 \ 9 \ 9 \ 10 \ 10 \ 10 \ 11 \ 11 \ 12 \ 13$

W tym przypadku całkowita liczba danych jest parzysta, dlatego konieczne jest obliczenie dwóch środkowych pozycji, pomiędzy którymi znajdzie się mediana. W tym celu używamy dwóch następujących wzorów:

$\cfrac{n}{2}=\cfrac{30}{2}=15$

$\cfrac{n}{2}+1=\cfrac{30}{2}+1=16$

Mediana będzie zatem znajdować się pomiędzy piętnastą a szesnastą pozycją, co odpowiada odpowiednio wartościom 6 i 7. Dokładniej mediana jest równa średniej z tych wartości:

$Me=\cfrac{x_{15}+x_{16}}{2}=\cfrac{6+7}{2}=6,5$

Na koniec, aby znaleźć tryb, wystarczy policzyć, ile razy pojawia się każda liczba. Jak widać, cyfry 6 i 8 pojawiają się w sumie cztery razy, czyli jest to maksymalna liczba powtórzeń. Dlatego w tym przypadku jest to tryb bimodalny, a dwie liczby oznaczają tryb zbioru danych:

$Mo=\{ 6 \ ; \ 8\}$

Kalkulator średniej, mediany i trybu

Wprowadź dane z dowolnej próbki statystycznej do poniższego kalkulatora online, aby obliczyć ich średnią, medianę i modę. Dane należy oddzielić spacją i wprowadzić z użyciem kropki jako separatora dziesiętnego.

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej

Jaka jest średnia, mediana i moda?

Połowa

Przeciętny przykład

Mediana

Przykład mediany

Moda

przykład mody

Rozwiązane ćwiczenie średniej, mediany i trybu

Kalkulator średniej, mediany i trybu

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Dodaj komentarz