Pomiary kształtu

Przez Benjamin Anderson 4 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym są pomiary kształtu. Dowiesz się więc, do czego używane są metryki kształtu, jak metryki kształtu są interpretowane i jak obliczane są tego typu metryki statystyczne.

Co to są pomiary kształtu?

W statystyce miary kształtu są wskaźnikami, które pozwalają nam opisać rozkład prawdopodobieństwa zgodnie z jego kształtem. Oznacza to, że miary kształtu służą do określenia, jak wygląda rozkład, bez konieczności przedstawiania go na wykresie.

Istnieją dwa rodzaje pomiarów kształtu: skośność i kurtoza. Skośność wskazuje, jak symetryczny jest rozkład, podczas gdy kurtoza wskazuje, jak skoncentrowany jest rozkład wokół średniej.

Jakie są wymiary kształtu?

Biorąc pod uwagę definicję miar kształtu, w tej sekcji pokazano, jakie są tego typu parametry statystyczne.

W statystyce wyróżniamy dwie miary formy:

Skośność : wskazuje, czy rozkład jest symetryczny czy asymetryczny.
Kurtoza – wskazuje, czy rozkład jest stromy czy płaski.

Asymetria

Wyróżnia się trzy rodzaje asymetrii :

Dodatnia asymetria : Rozkład ma więcej różnych wartości po prawej stronie średniej niż po jej lewej stronie.
Symetria : Rozkład ma taką samą liczbę wartości po lewej stronie średniej, jak i po prawej stronie średniej.
Ujemna skośność : Rozkład ma więcej różnych wartości po lewej stronie średniej niż po prawej stronie.

współczynnik asymetrii

Współczynnik skośności lub wskaźnik asymetrii to współczynnik statystyczny, który pomaga określić asymetrię rozkładu. Zatem obliczając współczynnik asymetrii, można poznać rodzaj asymetrii rozkładu bez konieczności jej graficznego przedstawiania.

Chociaż istnieją różne wzory na obliczenie współczynnika asymetrii i zobaczymy je wszystkie poniżej, niezależnie od zastosowanego wzoru, interpretacja współczynnika asymetrii zawsze odbywa się w następujący sposób:

Jeśli współczynnik skośności jest dodatni, rozkład jest dodatnio skośny .
Jeśli współczynnik skośności wynosi zero, rozkład jest symetryczny .
Jeśli współczynnik skośności jest ujemny, rozkład jest ujemnie skośny .

Współczynnik asymetrii Fishera

Współczynnik skośności Fishera jest równy trzeciemu momentowi średniej podzielonej przez odchylenie standardowe próbki. Zatem wzór na współczynnik asymetrii Fishera wygląda następująco:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

Równoważnie do obliczenia współczynnika Fishera można zastosować jeden z dwóch poniższych wzorów:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

Złoto

$E$

jest oczekiwaniem matematycznym,

$\mu$

średnia arytmetyczna,

$\sigma$

odchylenie standardowe i

$N$

całkowita liczba danych.

Z drugiej strony, jeśli dane są pogrupowane, możesz użyć następującej formuły:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Gdzie w tym przypadku

$x_i$

To oznaka klasy i

$f_i$

bezwzględna częstotliwość kursu.

Współczynnik asymetrii Pearsona

Współczynnik skośności Pearsona jest równy różnicy między średnią próbki a modą podzieloną przez jej odchylenie standardowe (lub odchylenie standardowe). Wzór na współczynnik asymetrii Pearsona jest zatem następujący:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

Złoto

$A_p$

jest współczynnikiem Pearsona,

$\mu$

średnia arytmetyczna,

$Mo$

moda i

$\sigma$

odchylenie standardowe.

Należy pamiętać, że współczynnik skośności Pearsona można obliczyć tylko wtedy, gdy jest to rozkład jednomodalny, to znaczy, jeśli w danych występuje tylko jeden tryb.

Współczynnik asymetrii Bowleya

Współczynnik skośności Bowleya jest równy sumie trzeciego kwartyla plus pierwszy kwartyl minus dwukrotność mediany podzielonej przez różnicę między trzecim i pierwszym kwartylem. Wzór na ten współczynnik asymetrii jest zatem następujący:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

Złoto

$Q_1$

$Q_3$

są odpowiednio pierwszym i trzecim kwartylem oraz

$Me$

jest medianą rozkładu.

Spłaszczenie

Kurtoza , zwana także skośnością , wskazuje, jak skoncentrowany jest rozkład wokół jego średniej. Innymi słowy, kurtoza wskazuje, czy rozkład jest stromy czy płaski. W szczególności im większa kurtoza rozkładu, tym jest ona bardziej stroma (lub ostrzejsza).

Istnieją trzy rodzaje pochlebstw :

Leptokurtic : rozkład jest bardzo punktowy, co oznacza, że dane są silnie skoncentrowane wokół średniej. Dokładniej, rozkłady leptokurtyczne definiuje się jako rozkłady ostrzejsze niż rozkład normalny.
Mesokurtic : Kurtoza rozkładu jest równoważna kurtozie rozkładu normalnego. Dlatego nie jest uważany za spiczasty ani spłaszczony.
Platicurtic : rozkład jest bardzo spłaszczony, co oznacza, że koncentracja wokół średniej jest niska. Formalnie rozkłady platykurtyczne definiuje się jako rozkłady bardziej płaskie niż rozkład normalny.

Należy zauważyć, że różne typy kurtozy są definiowane poprzez przyjęcie kurtozy rozkładu normalnego jako punktu odniesienia.

Współczynnik spłaszczania

Wzór na współczynnik kurtozy jest następujący:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Wzór na współczynnik kurtozy dla danych pogrupowanych w tablice częstości :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Na koniec wzór na współczynnik kurtozy dla danych pogrupowanych w przedziały :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(c_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Złoto:

$g_2$

jest współczynnikiem kurtozy.
$N$

to całkowita liczba danych.
$x_i$

to i-te dane w szeregu.
$\mu$

jest średnią arytmetyczną rozkładu.
$\sigma$

jest odchyleniem standardowym (lub odchyleniem typowym) rozkładu.
$f_i$

jest częstotliwością bezwzględną zbioru danych it.
$c_i$

jest znakiem klasy i-tej grupy.

Należy zauważyć, że we wszystkich wzorach na współczynnik kurtozy odejmuje się 3, ponieważ jest to wartość kurtozy rozkładu normalnego. Zatem obliczenie współczynnika kurtozy odbywa się poprzez przyjęcie kurtozy rozkładu normalnego jako punktu odniesienia. Dlatego czasami w statystyce mówi się, że obliczana jest nadmierna kurtoza .

Po obliczeniu współczynnika kurtozy należy go interpretować w następujący sposób, aby określić, jakiego rodzaju jest to kurtoza:

Jeśli współczynnik kurtozy jest dodatni, oznacza to, że rozkład jest leptokurtyczny .
Jeśli współczynnik kurtozy wynosi zero, oznacza to, że rozkład jest mezokurtyczny .
Jeśli współczynnik kurtozy jest ujemny, oznacza to, że rozkład jest platykurtyczny .

Inne rodzaje miar statystycznych

Możesz także zainteresować się którymś z poniższych mierników statystycznych. Kliknij jeden, aby zobaczyć, czym są i jak są obliczane.

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej

Co to są pomiary kształtu?

Jakie są wymiary kształtu?

Asymetria

współczynnik asymetrii

Współczynnik asymetrii Fishera

Współczynnik asymetrii Pearsona

Współczynnik asymetrii Bowleya

Spłaszczenie

Współczynnik spłaszczania

Inne rodzaje miar statystycznych

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Dodaj komentarz