Populacja vs. przykładowe odchylenie standardowe: kiedy używać każdego z nich

Odchylenie standardowe jest jednym z najczęstszych sposobów pomiaru rozkładu wartości w zbiorze danych.

Okazuje się, że istnieją dwa różne typy odchyleń standardowych, które można obliczyć, w zależności od rodzaju danych, z którymi pracujesz.

1. Odchylenie standardowe populacji

Odchylenie standardowe populacji należy obliczyć, gdy zbiór danych, z którym pracujesz, reprezentuje całą populację, czyli każdą wartość, która Cię interesuje.

Wzór na obliczenie odchylenia standardowego populacji, oznaczonego σ, jest następujący:

σ = √ Σ(x _i – μ) ² / N

Złoto:

• Σ : Symbol oznaczający „sumę”
• x _i : i- ^ta wartość w zestawie danych
• μ : średnia populacji
• N : Wielkość populacji

2. Przykład odchylenia standardowego

Należy obliczyć odchylenie standardowe próbki, jeśli zbiór danych, z którym pracujesz, reprezentuje próbkę pobraną z większej populacji będącej przedmiotem zainteresowania.

Wzór na obliczenie odchylenia standardowego próbki, oznaczonego s , jest następujący:

s = √ Σ(x _i – x̄) ² / (n – 1)

Złoto:

• Σ : Symbol oznaczający „sumę”
• x _i : i- ^ta wartość w zestawie danych
• x̄ : Przykładowe środki
• n : Rozmiar próbki

Odchylenie standardowe populacji z próby: różnica

Z powyższych wzorów widzimy, że istnieje niewielka różnica między populacją a odchyleniem standardowym próby: Obliczając odchylenie standardowe próbki, podzieliliśmy przez n-1 zamiast N.

Powodem jest to, że obliczając odchylenie standardowe próby, mamy tendencję do niedoceniania prawdziwej zmienności populacji. Innymi słowy, nasze oszacowanie prawdziwego odchylenia standardowego populacji jest obciążone.*

Aby skorygować to odchylenie, dzielimy przez n-1. Wykazano, że odchylenie standardowe próbki jest bezstronnym oszacowaniem odchylenia standardowego populacji.

*Dowód na to wykracza poza zakres tego artykułu. Aby uzyskać dowód matematyczny, zobacz ten artykuł na Stack Exchange .

Populacja vs. Przykładowe odchylenie standardowe: kiedy używać każdego z nich

Skorzystaj z poniższych problemów praktycznych, aby lepiej zrozumieć, kiedy należy zastosować odchylenie standardowe populacji w porównaniu z próbką.

Zadanie praktyczne nr 1: Sport

Załóżmy, że trener koszykówki chce podsumować średnią i odchylenie standardowe punktów zdobytych przez 12 zawodników jego drużyny.

Czy przy obliczaniu odchylenia standardowego zdobytych punktów należy zastosować wzór na odchylenie standardowe populacji czy próbki?

Odpowiedź: Musi zastosować odchylenie standardowe populacji, ponieważ interesują go tylko punkty zdobyte przez jego zawodników, a nie innych graczy z innej drużyny.

Ćwicz zadanie 2: wzrost

Załóżmy, że nauczyciel gimnastyki chce podsumować średnią i odchylenie standardowe wzrostu uczniów w swojej klasie.

Czy przy obliczaniu odchylenia standardowego wzrostu należy zastosować wzór na odchylenie standardowe populacji czy próbki?

Odpowiedź: Powinien użyć odchylenia standardowego populacji, ponieważ interesuje go tylko liczba uczniów w tej konkretnej klasie.

Zadanie praktyczne 3: Biologia

Załóżmy, że biolog chce podsumować średnią i odchylenie standardowe masy określonego gatunku żółwia. Postanawia wyjść i pobrać prostą losową próbkę 20 żółwi z populacji.

Czy przy obliczaniu odchylenia standardowego wag powinna zastosować wzór na odchylenie standardowe populacji czy próbki?

Odpowiedź: Powinna zastosować odchylenie standardowe próbki , ponieważ interesuje ją masa całej populacji żółwi, a nie tylko masa żółwi w jej próbie.

Zadanie praktyczne nr 4: Produkcja

Załóżmy, że inspektor chce podsumować średnią i odchylenie standardowe masy opon wyprodukowanych w określonej fabryce. Postanawia pobrać prostą losową próbkę 40 opon z fabryki i każdą z nich waży.

Czy przy obliczaniu odchylenia standardowego wag należy stosować wzór na odchylenie standardowe populacji czy próbki?

Odpowiedź: Powinien zastosować odchylenie standardowe próbki , ponieważ interesuje go masa wszystkich opon wyprodukowanych w tym zakładzie, a nie tylko masa opon znajdujących się w jego próbce.

Dodatkowe zasoby

Poniższe tutoriale dostarczają dodatkowych informacji na temat odchylenia standardowego:

Dlaczego odchylenie standardowe jest ważne?
Co uważa się za dobre odchylenie standardowe?
6 przykładów wykorzystania odchylenia standardowego w prawdziwym życiu
Współczynnik zmienności a odchylenie standardowe: różnica