Co to są reszty pearsona? (definicja – przykład)

Reszty Pearsona wykorzystuje się w teście niezależności chi-kwadrat w celu analizy różnicy między obserwowaną liczbą komórek a oczekiwaną liczbą komórek w tabeli kontyngencji.

Wzór na obliczenie reszty Pearsona jest następujący:

r _ij = (O _ij – E _ij ) / √ mi _ij

Złoto:

• r _ij : Reszta Pearsona dla komórki i ^-tej kolumny i j- ^tego rzędu
• O _ij : Wartość zaobserwowana dla komórki i ^-tej kolumny i j- ^tego wiersza
• E _ij : Oczekiwana wartość komórki i- ^tej kolumny i j- ^tego wiersza

Podobną miarą jest standaryzowana (skorygowana) reszta Pearsona , którą oblicza się w następujący sposób:

r _ij = (O _ij – E _ij ) / √ mi _ij (1-n _ja+ )(1-n _+j )

Złoto:

• r _ij : Reszta Pearsona dla komórki i ^-tej kolumny i j- ^tego rzędu
• O _ij : Wartość zaobserwowana dla komórki i ^-tej kolumny i j- ^tego wiersza
• E _ij : Oczekiwana wartość komórki i- ^tej kolumny i j- ^tego wiersza
• p _i+ : Suma wiersza podzielona przez sumę całkowitą
• p _{+ j} : Suma kolumny podzielona przez sumę całkowitą

Standaryzowane reszty Pearsona mają rozkład normalny ze średnią 0 i odchyleniem standardowym 1. Każda standaryzowana reszta Pearsona o wartości bezwzględnej powyżej pewnych progów (np. 2 lub 3) wskazuje na brak dopasowania.

Poniższy przykład pokazuje, jak w praktyce obliczyć reszty Pearsona.

Przykład: Obliczanie reszt Pearsona

Załóżmy, że badacze chcą zastosować test niezależności chi-kwadrat, aby ustalić, czy płeć jest powiązana z preferencją partii politycznej.

Decydują się pobrać prostą losową próbę 500 wyborców i zapytać ich o preferencje dotyczące partii politycznych.

Wyniki badania przedstawia poniższa tabela kontyngencji:

Przed obliczeniem reszt Pearsona musimy najpierw obliczyć oczekiwane zliczenia dla każdej komórki w tabeli kontyngencji. W tym celu możemy skorzystać z następującej formuły:

Oczekiwana wartość = (suma wierszy * suma kolumn) / suma tabeli.

Na przykład oczekiwana wartość dla mężczyzn z Partii Republikańskiej wynosi: (230*250) / 500 = 115 .

Możemy powtórzyć tę formułę, aby uzyskać oczekiwaną wartość dla każdej komórki tabeli:

Następnie możemy obliczyć resztę Pearsona dla każdej komórki w tabeli.

Na przykład resztę Pearsona dla komórki zawierającej republikanów można by obliczyć w następujący sposób:

• r _ij = (O _ij – E _ij ) / √ mi _ij
• r _ij = (120 – 115) / √ 115
• r _ij = 0,466

Możemy powtórzyć tę formułę, aby uzyskać resztę Pearsona dla każdej komórki w tabeli:

Następnie możemy obliczyć standaryzowaną resztę Pearsona dla każdej komórki w tabeli.

Na przykład standaryzowaną resztę Pearsona dla komórki zawierającej republikanów można by obliczyć w następujący sposób:

• r _ij = (O _ij – E _ij ) / √ mi _ij (1-p _ja+ )(1-p _+j )
• r _ij = (120 – 115) / √ 115(1-250/500)(1-230/500)
• r _ij = 0,897

Możemy powtórzyć ten wzór, aby otrzymać standaryzowaną resztę Pearsona dla każdej komórki w tabeli:

Widzimy, że żadna ze standaryzowanych reszt Pearsona nie ma wartości bezwzględnej większej niż 3, co wskazuje, że żadna z komórek nie przyczynia się do znaczącego braku dopasowania.

Jeśli użyjemy tego kalkulatora internetowego do wykonania testu niezależności chi-kwadrat, okaże się, że wartość p testu wynosi 0,649198 .

Ponieważ ta wartość p jest nie mniejsza niż 0,05, nie mamy wystarczających dowodów, aby stwierdzić, że istnieje związek między płcią a preferencjami partii politycznych.

Dodatkowe zasoby

Poniższe samouczki wyjaśniają, jak przeprowadzić test niezależności chi-kwadrat przy użyciu różnych programów statystycznych:

Wprowadzenie do testu niezależności chi-kwadrat
Jak wykonać test niezależności chi-kwadrat w programie Excel
Jak wykonać test niezależności chi-kwadrat w R
Test chi-kwadrat kalkulatora niezależności