Jak znaleźć prawdopodobieństwo a i b: z przykładami

Biorąc pod uwagę dwa zdarzenia, A i B, „znalezienie prawdopodobieństwa A i B” oznacza znalezienie prawdopodobieństwa wystąpienia zarówno zdarzenia A, jak i zdarzenia B.

Zwykle zapisujemy to prawdopodobieństwo na dwa sposoby:

• P(A i B) – Forma pisemna
• P(A∩B) – zapis formy

Sposób obliczenia tego prawdopodobieństwa zależy od tego, czy zdarzenia A i B są niezależne, czy zależne.

Jeśli A i B są niezależne , wówczas wzór, którego używamy do obliczenia P(A∩B) to po prostu:

 Independent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B)

Jeśli A i B są zależne , to wzór, którego używamy do obliczenia P(A∩B) to:

 Dependent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

Należy zauważyć , że P(B|A) jest danym prawdopodobieństwem warunkowym wystąpienia zdarzenia B   zachodzi zdarzenie A.

Poniższe przykłady pokazują, jak zastosować te formuły w praktyce.

Przykłady P(A∩B) dla zdarzeń niezależnych

Poniższe przykłady pokazują, jak obliczyć P(A∩B), gdy A i B są zdarzeniami niezależnymi.

Przykład 1: Prawdopodobieństwo, że Twoja ulubiona drużyna baseballowa wygra World Series wynosi 1/30, a prawdopodobieństwo, że Twoja ulubiona drużyna piłkarska wygra Super Bowl wynosi 1/32. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Twoje dwie ulubione drużyny wygrają swoje mistrzostwa?

Rozwiązanie: W tym przykładzie prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia jest niezależne od drugiego. Zatem prawdopodobieństwo wystąpienia obu zdarzeń oblicza się w następujący sposób:

P(A∩B) = (1/30) * (1/32) = 1/960 = 0,00104.

Przykład 2: Jednocześnie rzucasz kostką i monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na kostce wypadnie liczba 4, a moneta na reszce?

Rozwiązanie: W tym przykładzie prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia jest niezależne od drugiego. Zatem prawdopodobieństwo wystąpienia obu zdarzeń oblicza się w następujący sposób:

P(A∩B) = (1/6) * (1/2) = 1/12 = 0,083333.

Przykłady P(A∩B) dla zdarzeń zależnych

Poniższe przykłady pokazują, jak obliczyć P(A∩B), gdy A i B są zdarzeniami zależnymi.

Przykład 1: W urnie znajdują się 4 kule czerwone i 4 kule zielone. Losowo wybierasz kulę z urny. Następnie bez zwracania wybierasz inną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za każdym razem wybierzesz czerwoną kulę?

Rozwiązanie: W tym przykładzie kolor bili, którą wybierzesz za pierwszym razem, wpływa na prawdopodobieństwo wybrania czerwonej bili za drugim razem. Zatem te dwa zdarzenia są od siebie zależne.

Zdefiniujmy zdarzenie A jako prawdopodobieństwo wybrania czerwonej kuli za pierwszym razem. Prawdopodobieństwo to wynosi P(A) = 4/8. Następnie musimy znaleźć prawdopodobieństwo ponownego wybrania czerwonej kuli, biorąc pod uwagę , że pierwsza kula była czerwona. W tym przypadku do wyboru pozostały tylko 3 czerwone kule, a w sumie w urnie znajduje się tylko 7 kul. Zatem P(B|A) wynosi 3/7.

Zatem prawdopodobieństwo, że za każdym razem wybierzemy czerwoną kulę, obliczamy w następujący sposób:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (4/8) * (3/7) = 0,214.

Przykład 2: W pewnej klasie jest 15 chłopców i 12 dziewcząt. Załóżmy, że włożymy nazwiska każdego ucznia do torby. Losowo wybieramy imię z torby. Następnie bez zamiany wybieramy inną nazwę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że oba imiona to chłopcy?

Rozwiązanie: W tym przykładzie imię, które wybierzemy za pierwszym razem, wpływa na prawdopodobieństwo wybrania imienia chłopca w drugim losowaniu. Zatem te dwa zdarzenia są od siebie zależne.

Zdefiniujmy zdarzenie A jako prawdopodobieństwo wybrania po raz pierwszy chłopca. Prawdopodobieństwo to wynosi P(A) = 15/27. Następnie musimy znaleźć prawdopodobieństwo ponownego wybrania chłopca, biorąc pod uwagę , że imię było chłopcem. W tym przypadku zostało już tylko 14 chłopców do wyboru, a w worku znajduje się tylko 26 imion. Zatem P(B|A) wynosi 14/26.

Zatem prawdopodobieństwo, że za każdym razem wybierzemy imię dla chłopca, oblicza się w następujący sposób:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (15/27) * (14/26) = 0,299.