Jak znaleźć prawdopodobieństwo a lub b: z przykładami

Biorąc pod uwagę dwa zdarzenia, A i B, „znalezienie prawdopodobieństwa A lub B” oznacza znalezienie prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia A lub zdarzenia B.

Zwykle zapisujemy to prawdopodobieństwo na dwa sposoby:

• P(A lub B) – Forma pisemna
• P(A∪B) – zapis formy

Sposób obliczenia tego prawdopodobieństwa zależy od tego, czy zdarzenia A i B wzajemnie się wykluczają , czy nie. Dwa zdarzenia wykluczają się wzajemnie, jeżeli nie mogą wystąpić jednocześnie.

Jeśli A i B wykluczają się wzajemnie , wówczas wzór, którego używamy do obliczenia P(A∪B) to:

 Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B)

Jeśli A i B nie wykluczają się wzajemnie , wówczas wzór, którego używamy do obliczenia P(A∪B) to:

 Not Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Należy zauważyć, że P(A∩B) to prawdopodobieństwo wystąpienia zarówno zdarzenia A, jak i zdarzenia B.

Poniższe przykłady pokazują, jak zastosować te formuły w praktyce.

Przykłady: P(A∪B) dla zdarzeń wzajemnie się wykluczających

Przykład 1: Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucisz kostką i otrzymasz 2 lub 5?

Rozwiązanie: Jeśli zdefiniujemy zdarzenie A jako wyrzucenie 2, a zdarzenie B jako wyrzucenie 5, to te dwa zdarzenia wykluczają się wzajemnie, ponieważ nie możemy wyrzucić jednocześnie 2 i 5. Zatem prawdopodobieństwo, że otrzymamy 2 lub 5, oblicza się w następujący sposób:

P(A∪B) = (1/6) + (1/6) = 2/6 = 1/3.

Przykład 2: Załóżmy, że w urnie znajdują się 3 kule czerwone, 2 zielone i 5 żółtych. Jeśli wybierzemy losowo kulę, jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierzemy kulę czerwoną lub zieloną?

Rozwiązanie: Jeśli zdefiniujemy zdarzenie A jako wybranie czerwonej bili, a zdarzenie B jako wybranie zielonej bili, to te dwa zdarzenia wykluczają się wzajemnie, ponieważ nie możemy wybrać jednocześnie jednej bili czerwonej i zielonej. Zatem prawdopodobieństwo, że wybierzemy kulę czerwoną lub zieloną, obliczamy w następujący sposób:

P(A∪B) = (3/10) + (2/10) = 5/10 = 1/2.

Przykłady: P(A ∪ B) dla zdarzeń, które nie wykluczają się wzajemnie

Poniższe przykłady pokazują, jak obliczyć P(A∪B), gdy A i B nie są zdarzeniami wzajemnie się wykluczającymi.

Przykład 1: Jeśli losowo wybierzemy kartę ze standardowej talii 52 kart, jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierzemy pik lub damę?

Rozwiązanie: W tym przykładzie można wybrać kartę, która jest jednocześnie pikiem i damą, zatem te dwa zdarzenia nie wykluczają się wzajemnie.

Jeśli pozwolimy, aby wydarzeniem A było wybranie pik, a wydarzeniem B wydarzenie związane z wybraniem damy, wówczas mamy następujące prawdopodobieństwa:

• P(A) = 13/52
• P(B) = 4/52
• P(A∩B) = 1/52

Zatem prawdopodobieństwo wyboru pik lub damy oblicza się w następujący sposób:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (13/52) + (4/52) – (1/52) = 16/52 = 4/13.

Przykład 2: Jeśli rzucimy kostką, jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie ona na liczbę większą niż 3 lub liczbę parzystą?

Rozwiązanie: W tym przykładzie możliwe jest, że kostka wyląduje na liczbie większej niż 3 lub parzystej, więc te dwa zdarzenia nie wykluczają się wzajemnie.

Jeśli pozwolimy, aby zdarzenie A było zdarzeniem otrzymania liczby większej niż 3, a zdarzenie B zdarzeniem otrzymania liczby parzystej, wówczas mamy następujące prawdopodobieństwa:

• P(A) = 3/6
• P(B) = 3/6
• P(A∩B) = 2/6

Zatem prawdopodobieństwo, że na kostce wypadnie liczba większa niż 3 lub liczba parzysta, oblicza się w następujący sposób:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (3/6) + (3/6) – (2/6) = 4/6 = 2/3.