Jak znaleźć prawdopodobieństwo co najmniej jednego? powodzenie

Prawdopodobieństwo mówi nam, jak prawdopodobne jest wystąpienie zdarzenia.

Załóżmy na przykład, że 4% wszystkich uczniów w danej szkole preferuje matematykę jako swój ulubiony przedmiot. Jeśli wybierzemy losowo ucznia, prawdopodobieństwo, że preferuje on matematykę, wyniesie 4%.

Często jednak interesują nas prawdopodobieństwa obejmujące wiele prób. Na przykład, jeśli wybierzemy losowo trzech uczniów, jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden z nich preferuje matematykę?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, możemy wykonać następujące kroki:

1. Znajdź prawdopodobieństwo, że uczeń nie preferuje matematyki.

Wiemy, że prawdopodobieństwo, że uczeń woli matematykę wynosi P (preferuje matematykę) = 0,04.

Zatem prawdopodobieństwo, że uczeń nie preferuje matematyki, wynosi P (nie preferuje matematyki) = 0,96.

2. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszyscy wybrani uczniowie nie preferują matematyki.

Ponieważ prawdopodobieństwo, że każdy uczeń preferuje matematykę, jest od siebie niezależne, możemy po prostu pomnożyć poszczególne prawdopodobieństwa przez siebie:

P (nie wszyscy uczniowie wolą matematykę) = 0,96 * 0,96 * 0,96 = 0,8847.

Oznacza to prawdopodobieństwo, że cała trójka uczniów nie wybierze matematyki jako swojego ulubionego przedmiotu.

3. Znajdź prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden uczeń preferuje matematykę.

Ostatecznie prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden uczeń preferuje matematykę, oblicza się w następujący sposób:

P(przynajmniej jeden woli matematykę) = 1 – P(nie wszyscy wolą matematykę) = 1 – 0,8847 = 0,1153 .

Okazuje się, że możemy skorzystać z następującego wzoru ogólnego, aby obliczyć prawdopodobieństwo co najmniej jednego sukcesu w serii prób:

 P(at least one success) = 1 - P(failure in one trial) n

W powyższym wzorze n oznacza całkowitą liczbę prób.

Na przykład moglibyśmy użyć tego wzoru do obliczenia prawdopodobieństwa, że co najmniej jeden uczeń w losowej próbie trzech uczniów woli matematykę jako swój ulubiony przedmiot:

P (przynajmniej jeden uczeń preferuje matematykę) = 1 – (0,96) ³ = 0,1153 .

Odpowiada to odpowiedzi, którą otrzymaliśmy, stosując powyższy trzyetapowy proces.

Użyj poniższych przykładów jako dodatkowej praktyki, aby określić prawdopodobieństwo „co najmniej jednego” sukcesu.

Powiązane: Jak znaleźć prawdopodobieństwo „co najmniej dwóch” sukcesów

Przykład 1: Próby rzutów wolnych

Mike wykonuje 20% swoich prób rzutów wolnych. Jeśli wykona 5 rzutów wolnych, znajdź prawdopodobieństwo, że wykona co najmniej jeden.

Rozwiązanie:

• P(wykonuje co najmniej jedną próbę) = 1 – P(nie udaje się) ⁿ
• P(robi co najmniej jeden) = 1 – (0,80) ⁵
• P (co najmniej jeden) = 0,672

Prawdopodobieństwo, że Mike wykona przynajmniej jeden rzut wolny na pięć prób, wynosi 0,672 .

Przykład 2: Widżety

W danej fabryce 2% wszystkich widgetów jest wadliwych. W losowej próbie 10 widżetów określ prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden jest uszkodzony.

Rozwiązanie:

• P (przynajmniej jeden uszkodzony) = 1 – P (dany widget nie jest uszkodzony) ⁿ
• P(przynajmniej jeden uszkodzony) = 1 – (0,98) ¹⁰
• P(co najmniej jeden wadliwy) = 0,183

Prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden widget jest uszkodzony w losowej próbie 10, wynosi 0,183 .

Przykład 3: Pytania o ciekawostki

Bob poprawnie odpowiada na 75% pytań związanych z ciekawostkami. Jeśli zadamy mu 3 trywialne pytania, oblicz prawdopodobieństwo, że przynajmniej na jedno odpowie błędnie.

Rozwiązanie:

• P(przynajmniej jedna zła) = 1 – P(podana odpowiedź jest prawidłowa) ⁿ
• P (przynajmniej jedna błędna) = 1 – (0,75) ³
• P (przynajmniej jedna błędna) = 0,578

Prawdopodobieństwo, że odpowie błędnie na przynajmniej jedno pytanie, wynosi 0,578 .

Bonus: Kalkulator prawdopodobieństwa „co najmniej jednego”

Użyj tego kalkulatora, aby automatycznie obliczyć prawdopodobieństwo osiągnięcia „co najmniej jednego” sukcesu na podstawie prawdopodobieństwa sukcesu w danej próbie i całkowitej liczby prób.