Prawo całkowitego prawdopodobieństwa: definicja i przykłady

W teorii prawdopodobieństwa prawo całkowitego prawdopodobieństwa jest użyteczną metodą obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia A , gdy nie znamy bezpośrednio prawdopodobieństwa zdarzenia A , ale wiemy, że zdarzenia B ₁ , B ₂ , B ₃ … tworzą podział. przestrzeni próbki S.

Prawo to określa, co następuje:

Prawo całkowitego prawdopodobieństwa

Jeśli B ₁ , B ₂ , B ₃ … tworzą podział przestrzeni próbek S , to prawdopodobieństwo zdarzenia A możemy obliczyć w następujący sposób:

P( ZA ) = ΣP( ZA | B _ja )*P( B _ja )

Najłatwiej zrozumieć to prawo, biorąc prosty przykład.

Załóżmy, że w pudełku znajdują się dwie torby zawierające następujące kulki:

• Torba 1: 7 czerwonych kulek i 3 zielone kulki
• Torba 2: 2 czerwone kulki i 8 zielonych kulek

Jeśli losowo wybierzemy jeden z worków, a następnie losowo wybierzemy z tego worka kulkę, jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to zielona kulka?

W tym przykładzie niech P( G ) = prawdopodobieństwo wybrania zielonej kulki. Interesuje nas prawdopodobieństwo, ale nie możemy go obliczyć bezpośrednio.

Zamiast tego musimy użyć prawdopodobieństwa warunkowego G , biorąc pod uwagę pewne zdarzenie B , w którym B _i tworzy podział przestrzeni próbnej S. W tym przykładzie mamy następujące prawdopodobieństwa warunkowe:

• P(G| _B1 ) = 3/10 = 0,3
• P(G| _B2 ) = 8/10 = 0,8

Zatem korzystając z prawa całkowitego prawdopodobieństwa, możemy obliczyć prawdopodobieństwo wyboru zielonej kulki w następujący sposób:

• P(G) = ΣP(G|B _i )*P(B _i )
• P(G) = P(G|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(G|B ₂ )*P(B ₂ )
• P(G) = (0,3)*(0,5) + (0,8)*(0,5)
• P(G) = 0,55

Jeśli losowo wybierzemy jeden z worków, a następnie losowo wybierzemy z tego worka kulkę, prawdopodobieństwo, że wybierzemy zieloną kulkę wynosi 0,55 .

Przeczytaj poniższe dwa przykłady, aby ugruntować swoją wiedzę na temat prawa całkowitego prawdopodobieństwa.

Przykład 1: Widżety

Firma A dostarcza 80% widżetów do warsztatu samochodowego i tylko 1% widżetów okazuje się wadliwych. Firma B dostarcza pozostałe 20% widżetów do warsztatu samochodowego, a 3% jej widżetów okazuje się wadliwych.

Jeśli klient losowo kupi widget w warsztacie samochodowym, jakie jest prawdopodobieństwo, że jest on uszkodzony?

Jeśli przyjmiemy, że P( D ) = prawdopodobieństwo, że widget jest wadliwy, oraz P(B _i ) prawdopodobieństwo, że widget pochodzi od jednej z firm, to prawdopodobieństwo zakupu wadliwego widgetu możemy obliczyć w następujący sposób:

• P(D) = ΣP(D|B _i )*P(B _i )
• P(D) = P(D|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(D|B ₂ )*P(B ₂ )
• P(D) = (0,01)*(0,80) + (0,03)*(0,20)
• P(D) = 0,014

Jeśli losowo kupimy widget w tym sklepie samochodowym, prawdopodobieństwo, że jest on uszkodzony wynosi 0,014 .

Przykład 2: Lasy

Las A zajmuje 50% całkowitej powierzchni danego parku, a 20% roślin w tym lesie jest trujących. Las B zajmuje 30% całkowitej powierzchni, a 40% występujących w nim roślin jest trujących. Las C zajmuje pozostałe 20% terytorium, a 70% występujących tam roślin jest trujących.

Jeśli przypadkowo wejdziemy do tego parku i zerwiemy roślinę z ziemi, jakie jest prawdopodobieństwo, że jest ona trująca?

Jeśli przyjmiemy, że P( P ) = prawdopodobieństwo, że roślina jest trująca, a P(B _i ) prawdopodobieństwo, że weszliśmy do jednego z trzech lasów, to możemy obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrana roślina jest toksyczna, jak:

• P(P) = ΣP(P|B _i )*P(B _i )
• P(P) = P(P|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(P|B ₂ )*P(B ₂ ) + P(P|B ₃ )*P(B ₃ )
• P(P) = (0,20)*(0,50) + (0,40)*(0,30) + (0,70)*(0,20)
• P(P) = 0,36

Jeśli losowo wybierzemy roślinę z ziemi, prawdopodobieństwo, że jest ona toksyczna wynosi 0,36 .

Dodatkowe zasoby

Poniższe samouczki dostarczają dodatkowych informacji na temat prawdopodobieństwa:

Jak znaleźć średnią rozkładu prawdopodobieństwa
Jak znaleźć odchylenie standardowe rozkładu prawdopodobieństwa
Kalkulator rozkładu prawdopodobieństwa