Dystrybucja ryb

Przez Benjamin Anderson 3 sierpnia, 2023 Prawdopodobieństwo 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym jest rozkład Poissona w statystyce i do czego się go wykorzystuje. Znajdziesz więc definicję rozkładu Poissona, przykłady rozkładów Poissona i jakie są ich właściwości. Wreszcie będziesz mógł obliczyć dowolne prawdopodobieństwo rozkładu Poissona za pomocą kalkulatora online.

Co to jest rozkład Poissona?

Rozkład Poissona to rozkład prawdopodobieństwa, który określa prawdopodobieństwo wystąpienia danej liczby zdarzeń w pewnym okresie czasu.

Innymi słowy, rozkład Poissona służy do modelowania zmiennych losowych opisujących liczbę powtórzeń zjawiska w danym przedziale czasu.

Rozkład Poissona ma charakterystyczny parametr, oznaczony grecką literą λ, który wskazuje, ile razy przewidywane jest wystąpienie badanego zdarzenia w danym przedziale.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

Ogólnie rozkład Poissona służy do statystycznego modelowania zdarzeń o bardzo niskim prawdopodobieństwie wystąpienia. Poniżej możesz zobaczyć kilka przykładów tego typu rozkładu prawdopodobieństwa.

Przykłady rozkładu Poissona

Po zapoznaniu się z definicją rozkładu Poissona, oto kilka przykładów rozkładu Poissona.

Przykłady rozkładu Poissona:

Liczba osób wchodzących do sklepu w ciągu godziny.
Liczba pojazdów przekraczających granicę między dwoma krajami w ciągu miesiąca.
Liczba użytkowników, którzy uzyskują dostęp do strony internetowej w ciągu dnia.
Liczba wadliwych części wyprodukowanych przez fabrykę w ciągu dnia.
Liczba połączeń odbieranych przez centralę telefoniczną w ciągu minuty.

Formuła dystrybucji ryb

W rozkładzie Poissona prawdopodobieństwo wystąpienia x zdarzeń jest równe liczbie e do potęgi -λ pomnożonej przez λ do potęgi x i podzielonej przez silnię x .

Dlatego wzór na obliczenie prawdopodobieństwa rozkładu Poissona jest następujący:

👉 Możesz skorzystać z poniższego kalkulatora, aby obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia zmiennej zgodnej z rozkładem Poissona.

Ponieważ rozkład Poissona jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa, aby określić prawdopodobieństwo skumulowane, należy znaleźć prawdopodobieństwa wszystkich wartości aż do danej wartości, a następnie dodać wszystkie obliczone prawdopodobieństwa.

Rozwiązane ćwiczenie z rozkładu Poissona

Liczba produktów sprzedawanych przez markę jest zgodna z rozkładem Poissona λ=5 jednostek/dzień. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu jednego dnia sprzedałeś tylko 7 sztuk? A prawdopodobieństwo, że w ciągu jednego dnia sprzedałeś 3 sztuki lub mniej?

Aby uzyskać różne prawdopodobieństwa wymagane w zadaniu, musimy zastosować wzór na rozkład Poissona (patrz wyżej). Zatem korzystając z tego wzoru obliczamy prawdopodobieństwo sprzedaży 7 jednostek w ciągu jednego dnia:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=7]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^7}{7!}\\[2ex]P[X=7]&=0,1044\end{aligned}$

Po drugie, jesteśmy proszeni o określenie skumulowanego prawdopodobieństwa sprzedaży 3 lub mniej jednostek. Dlatego, aby znaleźć to prawdopodobieństwo, musimy obliczyć prawdopodobieństwo sprzedaży 1 jednostki, 2 jednostek i 3 jednostek osobno, a następnie dodać je do siebie.

$P[X\leq 3]=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]$

Dlatego najpierw obliczamy każde prawdopodobieństwo osobno:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=1]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^1}{1!}\\[2ex]P[X=1]&=0,0337\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=2]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^2}{2!}\\[2ex]P[X=2]&=0,0842\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=3]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^3}{3!}\\[2ex]P[X=3]&=0,1404\end{aligned}$

Następnie dodajemy trzy obliczone prawdopodobieństwa, aby określić prawdopodobieństwo sprzedaży trzech lub mniej jednostek dziennie.

$\begin{aligned}P[X\leq 3]&=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,0337+0,0842+0,1404\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,2583\end{aligned}$

Charakterystyka rozkładu Poissona

W tej sekcji zobaczymy, jakie są cechy rozkładu Poissona.

Rozkład Poissona jest zdefiniowany przez pojedynczy charakterystyczny parametr λ, który wskazuje, ile razy oczekiwane jest wystąpienie badanego zdarzenia w określonym przedziale czasu.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

Średnia rozkładu Poissona jest równa jego charakterystycznemu parametrowi λ.

$E[X]=\lambda$

Podobnie wariancja rozkładu Poissona jest równoważna jego charakterystycznemu parametrowi λ.

$Var(X)=\lambda$

Jeżeli λ jest liczbą całkowitą, to postać rozkładu Poissona jest bimodalna i jego wartości to λ i λ-1. Zamiast tego, jeśli λ nie jest liczbą całkowitą, trybem rozkładu Poissona jest największa liczba całkowita mniejsza lub równa λ.

$\begin{array}{l}\lambda \in \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\{\lambda, \lambda-1\} \\[2ex]}\lambda \ \cancel{\in} \ \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\lfloor\lambda\rfloor\end{array}$

Nie ma konkretnego wzoru na określenie mediany rozkładu Poissona, ale można znaleźć jego przedział:

$\lambda-\ln 2\leq Me < \lambda +\cfrac{1}{3}$

Funkcja prawdopodobieństwa rozkładu Poissona jest następująca:

$P[X=x]=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}$

Dodanie niezależnych zmiennych losowych Poissona daje w wyniku kolejną zmienną losową Poissona, której charakterystycznym parametrem jest suma parametrów zmiennych wyjściowych.

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Poisson}(\lambda_i) \quad i=1,\ldots,N\\[2ex] \displaystyle Y=\sum_{i=1}^N X_i\sim \text{Poisson}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\end{array}$

Rozkład dwumianowy można przybliżyć jako rozkład Poissona, jeśli całkowita liczba obserwacji jest wystarczająco duża (n≥100), przy czym λ jest iloczynem dwóch charakterystycznych parametrów rozkładu dwumianowego.

$X\sim \text{Bin}(n,p)\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim \text{Poisson}(n\cdot p)$

➤ Zobacz: Charakterystyka rozkładu dwumianowego

Kalkulator dystrybucji ryb

Podstaw wartość parametru λ i wartość x do poniższego kalkulatora, aby obliczyć prawdopodobieństwo. Musisz wybrać prawdopodobieństwo, które chcesz obliczyć i wprowadzić liczby, używając kropki jako separatora dziesiętnego, na przykład 0,1667.

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej