Co to jest propagacja błędów? (definicja – przykład)
Propagacja błędów ma miejsce, gdy mierzysz pewne wielkości a , b , c , … z niepewnością δa , δb , δc … a następnie chcesz obliczyć inną wielkość Q , korzystając z pomiarów a , b , c itd.
Okazuje się, że niepewności δ a , δ b , δc będą się propagować (tzn. „rozprzestrzeniać”) aż do niepewności Q.
Aby obliczyć niepewność Q , oznaczoną δ Q , możemy skorzystać z następujących wzorów.
Uwaga: Dla każdego z poniższych wzorów przyjmuje się, że wielkości a , b , c itd. zawierają błędy losowe i nieskorelowane .
Dodawanie lub odejmowanie
Jeśli Q = a + b + … + c – (x + y + … + z)
Wtedy δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
Przykład: Załóżmy, że mierzysz długość osoby od ziemi do talii i wynosi 40 cali ± 0,18 cala. Następnie mierzysz długość osoby od pasa do czubka głowy i wynosi ona 30 cali ± 0,06 cala.
Załóżmy, że następnie użyjesz tych dwóch pomiarów do obliczenia całkowitego wzrostu osoby. Wysokość zostanie obliczona w następujący sposób: 40 cali + 30 cali = 70 cali. Niepewność tego oszacowania można obliczyć w następujący sposób:
- δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
- δ Q = √ (0,18) 2 + (0,06) 2
- δQ = 0,1897
Daje nam to ostateczny pomiar 70 ± 0,1897 cala.
Mnożenie lub dzielenie
Jeśli Q = (ab…c) / (xy…z)
Wtedy δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
Przykład: Załóżmy, że chcesz zmierzyć stosunek długości elementu a do długości elementu b . Długość a wynosi 20 cali ± 0,34 cala, a długość b wynosi 15 cali ± 0,21 cala.
Stosunek zdefiniowany jako Q = a/b zostanie obliczony jako: 20/15 = 1,333 . Niepewność tego oszacowania można obliczyć w następujący sposób:
- δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
- δQ = |1,333| * √ (0,34/20) 2 + (0,21/15) 2
- δQ = 0,0294
Daje nam to ostateczny stosunek 1,333 ± 0,0294 cala.
Zmierzona ilość pomnożona przez dokładną liczbę
Jeśli A jest znane dokładnie i Q = A x
Wtedy δ Q = |A|δx
Przykład: Załóżmy, że mierzysz średnicę koła jako 5 metrów ± 0,3 metra. Następnie użyj tej wartości do obliczenia obwodu koła c = πd .
Obwód zostanie obliczony jako c = πd = π*5 = 15,708 . Niepewność tego oszacowania można obliczyć w następujący sposób:
- δQ = |A|δx
- δ Q = | π | * 0,3
- δQ = 0,942
Zatem obwód koła wynosi 15,708 ± 0,942 metra.
Niepewność w potędze
Jeśli n jest liczbą dokładną i Q = x n
Wtedy δ Q = | P | * | n | * (δx /x )
Przykład: Załóżmy, że mierzysz bok sześcianu jako s = 2 cale ± 0,02 cala. Następnie użyjesz tej wartości do obliczenia objętości sześcianu v = s 3 .
Objętość zostanie obliczona w następujący sposób: v = s 3 = 2 3 = 8 cali 3 . Niepewność tego oszacowania można obliczyć w następujący sposób:
- δ Q = | P | * | n | * (δx /x )
- δQ = |8| * |3| * (.02/2)
- δQ = 0,24
Zatem objętość sześcianu wynosi 8 ± 0,24 cala. 3 .
Ogólny wzór propagacji błędu
Jeżeli Q = Q(x) jest funkcją x , to ogólny wzór na propagację błędu można zdefiniować w następujący sposób:
δQ = |dQ / dX |δx
Pamiętaj, że rzadko będziesz musiał wyprowadzać te wzory od zera, ale pomocna może być znajomość ogólnego wzoru użytego do ich wyprowadzenia.
o autorze
Dr Benjamin Anderson
Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej