Przedział ufności dla różnicy proporcji

Przez Benjamin Anderson 3 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

W artykule wyjaśniono, czym jest przedział ufności dla różnicy proporcji w statystykach i do czego się go używa. Dowiesz się także, jak obliczyć przedział ufności dla różnicy dwóch proporcji oraz krok po kroku rozwiązane ćwiczenie.

Jaki jest przedział ufności dla różnicy proporcji?

Przedział ufności dla różnicy proporcji to przedział zapewniający zakres akceptowalnych wartości, pomiędzy którymi wartość różnicy między proporcjami dwóch populacji mieści się z pewnym poziomem ufności.

Na przykład, jeśli przedział ufności dla różnicy między proporcjami dwóch populacji przy 95% poziomie ufności wynosi (0,07; 15), oznacza to, że różnica między proporcjami dwóch populacji będzie wynosić od 7% do 15% z prawdopodobieństwem 95%.

Dlatego w statystyce przedział ufności dla różnicy proporcji służy do oszacowania dwóch wartości pomiędzy, które łączą różnicę między dwoma proporcjami populacji. Pobiera się zatem dwie próbki i na podstawie tych danych można w przybliżeniu ocenić różnicę w proporcjach populacji.

➤ Zobacz: Przedział ufności dla różnicy średnich

Wzór na przedział ufności dla różnicy proporcji

Wzór na obliczenie przedziału ufności dla różnicy proporcji przy poziomie ufności 1-α jest następujący:

$\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}$

Złoto:

$\widehat{p_i}$

jest proporcją próbki, tj.
$n_i$

to wielkość próbki, tj.
$Z_{\alpha/2}$

jest kwantylem standardowego rozkładu normalnego odpowiadającym prawdopodobieństwu α/2. Dla dużych próbek i poziomu ufności 95% jest to zwykle bliskie 1,96, a dla poziomu ufności 99% jest zwykle bliskie 2,576.

➤ Zobacz: Wzór na przedział ufności dla proporcji

Konkretny przykład przedziału ufności dla różnicy proporcji

Po zapoznaniu się z definicją przedziału ufności dla różnicy proporcji i jego wzorem, zobaczymy konkretny przykład sposobu obliczania przedziału ufności dla różnicy proporcji.

Chcemy przeprowadzić badanie statystyczne dotyczące odsetka osób leworęcznych, a dokładniej chcemy poznać różnicę w proporcjach osób leworęcznych pomiędzy mężczyznami i kobietami. W tym celu pobiera się próbę 60 mężczyzn i próbę 67 kobiet, spośród których 5 mężczyzn i 7 kobiet jest leworęcznych. Jaki jest przedział ufności dla różnicy proporcji przy poziomie ufności 95%?

Najpierw musimy obliczyć odsetek osób leworęcznych w każdej próbie statystycznej:

$\widehat{p_1}=\cfrac{5}{60}=0,083$

$\widehat{p_2}=\cfrac{7}{67}=0,104$

Jak widzieliśmy w powyższej sekcji, wzór na określenie przedziału ufności dla różnicy proporcji jest następujący:

$\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}$

Aby więc znaleźć przedział ufności dla różnicy proporcji, musimy wyznaczyć wartość Z _α /2. W tym celu korzystamy ze standardowej tabeli rozkładu normalnego .

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}Z_{\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]Z_{0,025}=1,96\end{array}$

Na koniec podstawiamy dane do wzoru i obliczamy przedział ufności dla różnicy proporcji:

$\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}$

$\displaystyle (0,083-0,104)\pm 1,96\cdot \sqrt{\frac{0,083\cdot(1-0,083)}{60}+\frac{0,104\cdot(1-0,104)}{67}}$

$\displaystyle -0,021\pm 0,101$

Krótko mówiąc, przedział ufności dla różnicy proporcji problemu wynosi:

$(-0,122 \ , \ 0,08)$

➤ Zobacz: Testowanie hipotez dla różnicy proporcji

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej

Jaki jest przedział ufności dla różnicy proporcji?

Wzór na przedział ufności dla różnicy proporcji

Konkretny przykład przedziału ufności dla różnicy proporcji

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Dodaj komentarz