Przedział ufności dla średniej

Przez Benjamin Anderson 3 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym jest przedział ufności dla średniej w statystyce i do czego się go używa. Podobnie dowiesz się, jak obliczyć przedział ufności średniej, a także dowiesz się, jak krok po kroku.

Jaki jest przedział ufności średniej?

Przedział ufności dla średniej to przedział, który zapewnia zakres dopuszczalnych wartości średniej populacji. Innymi słowy, przedział ufności dla średniej daje nam wartość maksymalną i minimalną, pomiędzy którymi wartość średniej populacji wiąże się z marginesem błędu.

Na przykład, jeśli 95% przedział ufności dla średniej populacji wynosi (6,10), oznacza to, że w 95% przypadków średnia populacji będzie wynosić od 6 do 10.

Dlatego też przedział ufności średniej służy do oszacowania dwóch wartości, pomiędzy którymi leży średnia populacji. Zatem przedział ufności średniej jest bardzo przydatny do przybliżenia średniej populacji, gdy wszystkie jej wartości są nieznane.

Wzór na przedział ufności dla średniej

Zakładając, że proces wprowadzania zmiennej przebiega następująco:

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

Przedział ufności dla średniej oblicza się, dodając i odejmując od średniej próbki wartość Z _α/2 pomnożoną przez odchylenie standardowe (σ) i podzieloną przez pierwiastek kwadratowy z wielkości próby (n). Zatem wzór na obliczenie przedziału ufności średniej jest następujący:

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

Dla dużych próbek i poziomu ufności 95% wartością krytyczną jest Z _α/2 = 1,96, a dla poziomu ufności 99% wartością krytyczną jest Z _α/2 = 2,576.

Powyższy wzór stosuje się, gdy znana jest wariancja populacji. Jeżeli jednak wariancja populacji nie jest znana, co zdarza się najczęściej, przedział ufności średniej oblicza się za pomocą następującego wzoru:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Złoto:

$\overline{x}$

to przykładowe środki.
$t_{\alpha/2}$

jest wartością rozkładu t-Studenta n-1 stopni swobody z prawdopodobieństwem α/2.
$s$

jest odchyleniem standardowym próbki.
$n$

to wielkość próbki.

Przykład obliczenia przedziału ufności dla średniej

Abyś mógł zobaczyć, jak obliczany jest przedział ufności dla średniej populacji, poniżej przedstawiamy przykład rozwiązany krok po kroku.

Mamy próbkę 8 obserwacji o wartościach pokazanych poniżej. Jaki jest średni przedział ufności populacji przy poziomie ufności 95%?

206 203 201 212
194 176 208 201

Jak widzieliśmy w poprzedniej sekcji, wzór na uzyskanie przedziału ufności średniej populacji, gdy nie znamy odchylenia standardowego populacji, jest następujący:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Aby więc wyznaczyć przedział ufności średniej, musimy najpierw obliczyć średnią próbki i odchylenie standardowe.

$\begin{array}{c}\mu =200,13 \\[4ex]s=11,13\end{array}$

➤ Zobacz: Kalkulator średniej arytmetycznej
➤ Zobacz: Kalkulator odchylenia standardowego

Ponieważ chcemy znaleźć przedział ufności przy poziomie ufności 1-α=95%, a wielkość próby wynosi 8, musimy uzyskać dostęp do tabeli rozkładu t-Studenta i sprawdzić, która wartość odpowiada t _0,025|7 .

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 7}=2,365\end{array}$

➤ Zobacz: Wartości tabeli rozkładu t Studenta

Stosujemy zatem wzór na przedział ufności dla średniej i wykonujemy obliczenia, aby znaleźć granice przedziału:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

$\displaystyle \left(200,13-2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \ , \ 200,13+2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \right)$

$\displaystyle \left(190,82 \ , \ 209,43 \right)$

Podsumowując, obliczony przedział ufności mówi nam, że przy poziomie ufności 95% średnia populacji będzie wynosić od 190,82 do 209,43.

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej

Jaki jest przedział ufności średniej?

Wzór na przedział ufności dla średniej

Przykład obliczenia przedziału ufności dla średniej

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Dodaj komentarz