Przedział ufności dla wariancji

Przez Benjamin Anderson 3 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym jest przedział ufności dla wariancji i do czego służy w statystyce. W podobny sposób dowiesz się, jak obliczyć przedział ufności wariancji i dowiesz się, jak krok po kroku to zrobić.

Jaki jest przedział ufności dla wariancji?

Przedział ufności dla wariancji to przedział przybliżający wartości, pomiędzy którymi leży wariancja populacji. Oznacza to, że przedział ufności dla wariancji wskazuje wartość maksymalną i minimalną wartość wariancji populacji dla poziomu ufności.

Na przykład, jeśli 95% przedział ufności dla wariancji populacji wynosi (55,75), oznacza to, że wariancja populacji będzie wynosić od 55 do 75 z prawdopodobieństwem 95%.

Dlatego też przedział ufności dla wariancji służy do oszacowania dwóch wartości, pomiędzy którymi leży wariancja populacji. Wariancję próbki można obliczyć, ale wariancja populacji jest zwykle nieznana, dlatego przedział ufności wariancji pozwala przybliżyć jej wartość.

Wzór na przedział ufności dla wariancji

Aby obliczyć przedział ufności dla wariancji populacji, stosuje się rozkład chi-kwadrat . Dokładniej, wzór na obliczenie przedziału ufności dla wariancji jest następujący:

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

Złoto:

$n$

to wielkość próbki.
$s$

jest odchyleniem standardowym próbki.
$\chi_{n-1;\alpha/2}$

jest wartością rozkładu chi-kwadrat z n-1 stopniami swobody dla prawdopodobieństwa mniejszego niż α/2.
$\chi_{n-1;1-\alpha/2}$

jest wartością rozkładu chi-kwadrat z n-1 stopniami swobody dla prawdopodobieństwa większego niż 1-α/2.

Przykład obliczenia przedziału ufności dla wariancji

Abyś mógł lepiej zrozumieć tę koncepcję, w tej sekcji zostawiamy rozwiązany przykład obliczania przedziału ufności dla wariancji.

Mamy próbkę 8 obserwacji o wartościach pokazanych poniżej. Jaki jest przedział ufności dla wariancji populacji przy poziomie ufności 1-α=95%?

206 203 201 212
194 176 208 201

Jak wyjaśniono powyżej, wzór na określenie przedziału ufności wariancji populacji jest następujący:

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

Dlatego, aby znaleźć przedział ufności, musimy najpierw obliczyć odchylenie standardowe próbki:

$s=11,13$

➤ Zobacz: Jak obliczyć odchylenie standardowe

Po drugie, patrzymy na tabelę rozkładu chi-kwadrat, aby zobaczyć, jakich odpowiadających jej wartości potrzebujemy:

$\begin{array}{c}\chi_{n-1;\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[2ex]\chi_{_{7;0,025}}=16,013\end{array}$

$\begin{array}{c}\chi_{n-1;1-\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[2ex]\chi_{_{7;0,975}}=1,690\end{array}$

➤ Zobacz: Wartości tabeli rozkładu chi-kwadrat

Podstawiamy więc wartości do wzoru na przedział ufności dla wariancji i wykonujemy obliczenia:

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

$\displaystyle \left( (8-1)\frac{11,13^2}{16,013} \ , \ (8-1)\frac{11,13^2}{1,690}\right)$

$\displaystyle \left( 54,15 \ , \ 513,10\right)$

Podsumowując, wariancja badanej populacji mieści się w przedziale od 54,15 do 513,10 przy poziomie ufności 95%.

➤ Zobacz: Przedział ufności dla średniej

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej

Jaki jest przedział ufności dla wariancji?

Wzór na przedział ufności dla wariancji

Przykład obliczenia przedziału ufności dla wariancji

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Dodaj komentarz