Jak znaleźć przedziały ufności w r (z przykładami)

Przedział ufności to zakres wartości, który prawdopodobnie będzie zawierał parametr populacji z pewnym poziomem ufności.

Oblicza się go według następującego ogólnego wzoru:

Przedział ufności = (oszacowanie punktowe) +/- (wartość krytyczna)* (błąd standardowy)

Ta formuła tworzy przedział z dolną i górną granicą, który prawdopodobnie zawiera parametr populacji z pewnym poziomem ufności:

Przedział ufności = [dolna granica, górna granica]

W tym samouczku wyjaśniono, jak obliczyć następujące przedziały ufności w R:

1. Przedział ufności dla średniej

2. Przedział ufności dla różnicy średnich

3. Przedział ufności dla proporcji

4. Przedział ufności dla różnicy proporcji

Chodźmy!

Przykład 1: Przedział ufności dla średniej

Do obliczenia przedziału ufności dla średniej używamy następującego wzoru:

Przedział ufności = x +/- t _{n-1, 1-α/2} *(s/√n)

Złoto:

• x : przykładowe środki
• t: wartość krytyczna t
• s: odchylenie standardowe próbki
• n: wielkość próbki

Przykład: Załóżmy, że zbieramy losową próbkę żółwi z następującymi informacjami:

• Wielkość próby n = 25
• Średnia masa próbki x = 300
• Próbka odchylenie standardowe s = 18,5

Poniższy kod pokazuje, jak obliczyć 95% przedział ufności dla prawdziwej średniej masy populacji żółwi:

 #input sample size, sample mean, and sample standard deviation
n <- 25
xbar <- 300 
s <- 18.5

#calculate margin of error
margin <- qt(0.975,df=n-1)*s/sqrt(n)

#calculate lower and upper bounds of confidence interval
low <- xbar - margin
low

[1] 292.3636

high <- xbar + margin
high

[1] 307.6364

95% przedział ufności dla prawdziwej średniej masy populacji żółwi wynosi [292,36, 307,64] .

Przykład 2: Przedział ufności dla różnicy średnich

Do obliczenia przedziału ufności dla różnicy średnich populacji stosujemy następujący wzór:

Przedział ufności = ( x ₁ – x ₂ ) +/- t*√((s _p ² /n ₁ ) + (s _p ² /n ₂ ))

Złoto:

• x ₁ , x ₂ : średnia z próbki 1, średnia z próbki 2
• t: wartość krytyczna t oparta na poziomie ufności i (n ₁ + n ₂ -2) stopniach swobody
• s _p ² : wariancja zbiorcza, obliczona jako ((n ₁ -1) s ₁ ² + (n ₂ -1) s ₂ ² ) / (n ₁ + n ₂ -2)
• t: wartość krytyczna t
• n ₁ , n ₂ : wielkość próby 1, wielkość próby 2

Przykład: Załóżmy, że chcemy oszacować różnicę w średniej masie dwóch różnych gatunków żółwi. Dlatego pobieramy losową próbkę 15 żółwi z każdej populacji. Oto podsumowanie danych dla każdej próbki:

Próbka 1:

• x1 = ₃₁₀
• s ₁ = 18,5
• n ₁ = 15

Próbka 2:

• x2 ₌ 300
• _s2 = 16,4
• _n2 = 15

Poniższy kod pokazuje, jak obliczyć 95% przedział ufności dla prawdziwej różnicy średnich z populacji:

 #input sample size, sample mean, and sample standard deviation
n1 <- 15
xbar1 <- 310 
s1 <- 18.5

n2 <- 15
xbar2 <- 300
s2 <- 16.4

#calculate pooled variance
sp = ((n1-1)*s1^2 + (n2-1)*s2^2) / (n1+n2-2)

#calculate margin of error
margin <- qt(0.975,df=n1+n2-1)*sqrt(sp/n1 + sp/n2)

#calculate lower and upper bounds of confidence interval
low <- (xbar1-xbar2) - margin
low

[1] -3.055445

high <- (xbar1-xbar2) + margin
high

[1] 23.05544

95% przedział ufności dla prawdziwej różnicy między średnimi populacji wynosi [-3,06; 23,06] .

Przykład 3: Przedział ufności dla proporcji

Do obliczenia przedziału ufności dla proporcji używamy następującego wzoru:

Przedział ufności = p +/- z*(√ p(1-p) / n )

Złoto:

• p: proporcja próbki
• z: wybrana wartość z
• n: wielkość próbki

Przykład: Załóżmy, że chcemy oszacować odsetek mieszkańców hrabstwa, którzy opowiadają się za określonym prawem. Wybieramy losową próbę 100 mieszkańców i pytamy ich, jakie jest ich stanowisko w świetle prawa. Oto wyniki:

• Wielkość próby n = 100
• Proporcja na korzyść prawa p = 0,56

Poniższy kod pokazuje, jak obliczyć 95% przedział ufności dla prawdziwego odsetka mieszkańców całego hrabstwa, którzy opowiadają się za prawem:

 #input sample size and sample proportion
n <- 100
p <- .56

#calculate margin of error
margin <- qnorm(0.975)*sqrt(p*(1-p)/n)

#calculate lower and upper bounds of confidence interval
low <- p - margin
low

[1] 0.4627099

high <- p + margin
high

[1] 0.6572901

95% przedział ufności dla prawdziwego odsetka mieszkańców całego hrabstwa, którzy opowiadają się za prawem, wynosi [0,463, 0,657] .

Przykład 4: Przedział ufności dla różnicy proporcji

Do obliczenia przedziału ufności dla różnicy proporcji używamy następującego wzoru:

Przedział ufności = (p ₁ –p ₂ ) +/- z*√(p ₁ (1-p ₁ )/n ₁ + p ₂ (1-p ₂ )/n ₂ )

Złoto:

• p ₁ , p ₂ : proporcja próbki 1, proporcja próbki 2
• z: wartość krytyczna z oparta na poziomie ufności
• n ₁ , n ₂ : wielkość próby 1, wielkość próby 2

Przykład: Załóżmy, że chcemy oszacować różnicę między odsetkiem mieszkańców popierających określone prawo w hrabstwie A a odsetkiem mieszkańców popierających prawo w hrabstwie B. Oto podsumowanie danych dla każdej próby:

Próbka 1:

• _n1 = 100
• p ₁ = 0,62 (tj. 62 mieszkańców na 100 popiera ustawę)

Próbka 2:

• _n2 = 100
• p ₂ = 0,46 (tj. 46 mieszkańców na 100 popiera ustawę)

Poniższy kod pokazuje, jak obliczyć 95% przedział ufności dla prawdziwej różnicy w odsetku mieszkańców popierających prawo pomiędzy powiatami:

 #input sample sizes and sample proportions
n1 <- 100
p1 <- .62

n2 <- 100
p2 <- .46

#calculate margin of error
margin <- qnorm(0.975)*sqrt(p1*(1-p1)/n1 + p2*(1-p2)/n2)

#calculate lower and upper bounds of confidence interval
low <- (p1-p2) - margin
low

[1] 0.02364509


high <- (p1-p2) + margin
high

[1] 0.2963549

95% przedział ufności dla prawdziwej różnicy w odsetku mieszkańców popierających prawo pomiędzy powiatami wynosi [0,024; 0,296] .

Więcej samouczków R znajdziesz tutaj .