Przybliżenie satterthwaite’a: definicja i przykład

Przybliżenie Satterthwaite’a to wzór używany do znajdowania „efektywnych stopni swobody” w teście t dla dwóch próbek.

Najczęściej stosuje się go w teście t Welcha , który porównuje średnie z dwóch niezależnych próbek bez założenia, że populacje, z których pobierane są próbki , mają równe wariancje.

Wzór na przybliżenie Satterthwaite’a jest następujący:

 Degrees of freedom: (s 1 2 /n 1 + s 2 2 /n 2 ) 2 / {[(s 1 2 /n 1 ) 2 /(n 1 – 1)] + [(s 2 2 /n 2 ) 2 /(n 2 – 1)]}

Złoto:

• s ₁ ² , s ₂ ² : Wariancja próbki odpowiednio pierwszej i drugiej próbki.
• _n1 , _n2 : Wielkość próbki odpowiednio pierwszej i drugiej próbki.

Poniższy przykład pokazuje, jak zastosować przybliżenie Satterthwaite’a do obliczenia efektywnych stopni swobody.

Przykład: Obliczenie przybliżenia Satterthwaite’a

Załóżmy, że chcemy wiedzieć, czy średnia wysokość dwóch różnych gatunków roślin jest równa. Zbierzemy więc dwie proste losowe próbki każdego gatunku i zmierzymy wysokość roślin w każdej próbce.

Poniższe wartości wskazują wysokość (w calach) każdej próbki:

Próbka 1: 14, 15, 15, 15, 16, 18, 22, 23, 24, 25, 25

Próbka 2: 10, 12, 14, 15, 18, 22, 24, 27, 31, 33, 34, 34, 34

Średnie, wariancje i wielkości próbek okazują się być następujące:

• x1 ₌ 19,27
• x2 ₌ 23,69
• s ₁ ² = 20,42
• s ₂ ² = 83,23
• n1 ₌ 11
• n2 = ₁₃

Następnie możemy podłączyć wartości wariancji i wielkości próbek do wzoru aproksymacyjnego Satterthwaite’a, aby znaleźć efektywne stopnie swobody:

 df = (s 1 2 /n 1 + s 2 2 /n 2 ) 2 / {[(s 1 2 /n 1 ) 2 /(n 1 – 1)] + [(s 2 2 /n 2 ) 2 / (n 2 – 1)]} 

df = (20.42/11 + 83.23/13) 2 /{[(20.42/11) 2 /(11 – 1)] + [(83.23/13) 2 /(13 – 1)]} = 18.137

Efektywne stopnie swobody wynoszą 18 137 .

Zwykle zaokrąglamy tę wartość do najbliższej liczby całkowitej, zatem stopnie swobody, których użylibyśmy w naszym teście t Welcha, wynoszą 18 .

Na koniec znajdziemy wartość krytyczną t w tabeli rozkładu t, która odpowiada dwustronnemu testowi z alfa = 0,05 dla 18 stopni swobody:

Wartość krytyczna t wynosi 2,101 .

Następnie obliczylibyśmy naszą statystykę testową w następujący sposób:

Statystyka testowa: ( x ₁ – x ₂ ) / (√ s ₁ ² /n ₁ + s ₂ ² /n ₂ )

Statystyka testowa: (19,27 – 23,69) / (√ 20,42/11 + 83,23/13 ) = -4,42 / 2,873 = -1,538

Ponieważ wartość bezwzględna naszej statystyki testowej (1,538) nie jest większa niż wartość krytyczna t, nie udaje nam się odrzucić hipotezy zerowej testu.

Nie ma wystarczających dowodów, aby stwierdzić, że średnie w obu populacjach znacząco się różnią.

Przybliżenie Satterthwaite’a w praktyce

W praktyce rzadko będzie konieczne ręczne obliczanie przybliżenia Satterthwaite’a.

Zamiast tego popularne programy statystyczne, takie jak R, Python, Excel, SAS i Stata, mogą wykorzystywać przybliżenie Satterthwaite’a do automatycznego obliczania efektywnych stopni swobody.

Dodatkowe zasoby

Wprowadzenie do testowania hipotez
Wprowadzenie do testu t dla dwóch próbek
Wprowadzenie do testu t Welcha