Rozkład bernoulliego

Przez Benjamin Anderson 4 sierpnia, 2023 Prawdopodobieństwo 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym jest rozkład Bernoulliego i jaki jest jego wzór. Dodatkowo znajdziesz w nim właściwości rozkładu Bernoulliego oraz rozwiązane ćwiczenie pozwalające lepiej zrozumieć jego znaczenie.

Co to jest rozkład Bernoulliego?

Rozkład Bernoulliego , znany również jako rozkład dychotomiczny , to rozkład prawdopodobieństwa reprezentujący zmienną dyskretną, która może mieć tylko dwa wyniki: „sukces” lub „porażka”.

W rozkładzie Bernoulliego „sukces” jest oczekiwanym przez nas wynikiem i ma wartość 1, natomiast wynik „porażki” jest wynikiem innym niż oczekiwany i ma wartość 0. Zatem, jeśli prawdopodobieństwo wyniku „ sukces” wynosi p , prawdopodobieństwo wyniku „porażki” wynosi q=1-p .

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

Rozkład Bernoulliego został nazwany na cześć szwajcarskiego statystyka Jacoba Bernoulliego.

W statystyce rozkład Bernoulliego ma głównie jedno zastosowanie: określanie prawdopodobieństw eksperymentów, w których możliwe są tylko dwa wyniki: sukces i porażka. Zatem eksperyment wykorzystujący rozkład Bernoulliego nazywany jest testem Bernoulliego lub eksperymentem Bernoulliego.

Wzór na rozkład Bernoulliego

Jeśli p jest prawdopodobieństwem wystąpienia „sukcesu”, prawdopodobieństwo rozkładu Bernoulliego jest równe p podniesione do x pomnożone przez 1-p podniesione do 1-x . Zatem prawdopodobieństwa rozkładu Bernoulliego można obliczyć za pomocą następującego wzoru :

Należy zauważyć, że w rozkładzie Bernoulliego wartość x może wynosić tylko 0 (porażka) lub 1 (sukces).

Z drugiej strony poprzedni wzór można również zapisać za pomocą następującego równoważnego wyrażenia:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.$

Przykład rozkładu Bernoulliego

Teraz, gdy znamy już definicję rozkładu Bernoulliego i jego wzór, przyjrzyjmy się konkretnemu przykładowi rozkładu Bernoulliego.

Aby wygrać grę, gracz musi rzucić kostką i uzyskać 2, w przeciwnym razie inny gracz wygra grę i dlatego gra zostanie przegrana. Oblicz prawdopodobieństwo sukcesu i porażki.

Na kości można uzyskać sześć możliwych wyników (1, 2, 3, 4, 5, 6), więc w tym przypadku przestrzeń próbki w eksperymencie wynosi:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

W naszym przypadku jedynym sukcesem jest zdobycie liczby dwa, więc prawdopodobieństwo sukcesu przy zastosowaniu reguły Laplace’a jest równe jeden podzielone przez całkowitą liczbę możliwych wyników (6):

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

Z drugiej strony, jeśli podczas rzutu kostką pojawi się inna liczba, wynik eksperymentu zostanie uznany za porażkę, ponieważ gracz przegra grę. Zatem prawdopodobieństwo to jest równe jeden minus prawdopodobieństwo obliczone wcześniej:

$q=1-p=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}=0,8333$

Krótko mówiąc, rozkład Bernoulliego tego doświadczenia definiuje się za pomocą następującego wyrażenia:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{5}{6} & \text{si } x=0\\[4ex]\cfrac{1}{6} & \text{si } x=1\end{array}\right.$

Jak widać poniżej, prawdopodobieństwa rozkładu Bernoulliego można również wyznaczyć, stosując wzór pokazany powyżej:

$P[X=x]=p^x\cdot (1-p)^{1-x}$

$\displaystyle P[X=0]=\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-0}=\cfrac{5}{6}$

$\displaystyle P[X=1]=\left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-1}=\cfrac{1}{6}$

Charakterystyka rozkładu Bernoulliego

Poniżej przedstawiono najważniejsze cechy rozkładu Bernoulliego.

Rozkład Bernoulliego może przyjmować tylko wartość 1 (sukces) lub 0 (porażka).

$x=\{0\ ; 1\}$

Średnia rozkładu Bernoulliego jest równa prawdopodobieństwu wystąpienia wyniku „sukcesu”.

$E[X]=p$

Wariancję rozkładu Bernoulliego można obliczyć mnożąc prawdopodobieństwa wystąpienia wyniku „sukces” i „porażka”. Lub, równoważnie, wariancja wynosi p razy 1-p .

$Var(X)=p\cdot q=p\cdot (1-p)$

Wartość trybu rozkładu Bernoulliego zależy od prawdopodobieństw „sukcesu” i „porażki”. Zatem sposób tego typu rozkładu definiuje się za pomocą następującego wyrażenia:

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \displaystyle
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...> The formula for the probability function
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.

Natomiast skumulowaną funkcję prawdopodobieństwa rozkładu Bernoulliego definiuje się za pomocą następującego wyrażenia:

$\displaystyle P[X\leq x]=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } x<0\\[2ex]1-p& \text{si }0 \leq x<1\\[2ex]1 & \text{si } x\geq 1\end{array}\right.$

Współczynnik asymetrii rozkładu Bernoulliego oblicza się za pomocą następującego wyrażenia:

$A=\cfrac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}$

Podobnie kurtoza rozkładu Bernoulliego zależy od wartości parametru p i można ją wyznaczyć, stosując następujący wzór:

$C=\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}$

Rozkład Bernoulliego i rozkład dwumianowy

W tej sekcji zobaczymy różnicę między rozkładem Bernoulliego a rozkładem dwumianowym, ponieważ są to dwa rodzaje powiązanych rozkładów prawdopodobieństwa.

Rozkład dwumianowy liczy liczbę „udanych” wyników uzyskanych ze zbioru prób Bernoulliego. Te eksperymenty Bernoulliego muszą być niezależne, ale muszą mieć takie samo prawdopodobieństwo powodzenia.

Dlatego rozkład dwumianowy jest sumą zbioru zmiennych zgodnych z rozkładem Bernoulliego , wszystkich zdefiniowanych przez ten sam parametr p .

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i\sim \text{Bin}(n,p)\end{array}$

Zatem w rozkładzie Bernoulliego występuje tylko jeden eksperyment Bernoulliego, natomiast w rozkładzie dwumianowym występuje ciąg eksperymentów Bernoulliego.

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej