Rozkład symetryczny

Przez Benjamin Anderson 5 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

W tym artykule dowiesz się, czym są rozkłady symetryczne, przykłady rozkładów symetrycznych i jak określić, czy rozkład jest symetryczny, czy asymetryczny.

Co to jest rozkład symetryczny?

W statystyce rozkład symetryczny to taki, który ma taką samą liczbę wartości po lewej stronie średniej, jak i po prawej stronie średniej. Innymi słowy, w rozkładzie symetrycznym, średnia jest osią symetrii.

Na przykład rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym.

We wszystkich rozkładach symetrycznych średnia jest równa medianie. Ale jeśli rozkład jest również jednomodalny (tryb statystyczny to pojedyncza wartość), średnia, mediana i moda są równoważne.

Logicznie rzecz biorąc, aby w pełni zrozumieć, czym jest rozkład symetryczny, należy jasno określić, czym jest średnia, mediana i moda. Znaczenie tych pojęć statystycznych możesz sprawdzić tutaj:

➤ Zobacz: Co to jest średnia, mediana i moda?

Przykłady rozkładów symetrycznych

Biorąc pod uwagę definicję rozkładu symetrycznego, poniżej przedstawiono przykład tego typu rozkładu:

Jak pokazuje wykres, rozkład jest symetryczny, ponieważ średnia leży dokładnie pośrodku wszystkich danych, co oznacza, że ogon po lewej stronie krzywej jest taki sam, jak ogon po prawej stronie. W tym przypadku średnia, mediana i moda są takie same, ponieważ mod jest jednomodalny.

Dwa wyraźne przykłady dwóch różnych typów symetrycznych rozkładów prawdopodobieństwa to rozkład normalny i rozkład równomierny, ponieważ mają one tę samą liczbę wartości po lewej i prawej stronie średniej.

Z drugiej strony rozkład może być również symetryczny i bimodalny, to znaczy mieć dwa tryby. Spójrz na następujący przykład:

Jak widać w tym innym przykładzie, rozkład bimodalny może być również symetryczny, ponieważ może mieć średnią i medianę w środku, niezależnie od innych wartości. Jednak w tym przypadku mod nie musi być koniecznie równy średniej i modzie.

Inne typy rozkładów ze względu na ich symetrię

Oprócz rozkładów symetrycznych istnieją dwa inne typy rozkładów asymetrycznych.

Rozkład symetryczny : Rozkład ma tę samą liczbę wartości po lewej i prawej stronie średniej.
Rozkład dodatnio skośny : Rozkład ma więcej różnych wartości po prawej stronie średniej niż po jej lewej stronie.
Ujemnie skośny rozkład : Rozkład ma więcej różnych wartości po lewej stronie średniej niż po prawej stronie.

Jak sprawdzić, czy rozkład jest symetryczny

Aby określić, czy rozkład jest symetryczny, czy nie, musimy obliczyć współczynnik asymetrii Pearsona, którego wzór to:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

Złoto

$A_p$

jest współczynnikiem Pearsona,

$\mu$

średnia arytmetyczna,

$Mo$

tryb (statystyki) i

$\sigma$

odchylenie standardowe.

Zatem w zależności od znaku współczynnika asymetrii Pearsona rozkład będzie symetryczny lub asymetryczny:

Jeśli współczynnik skośności Pearsona jest dodatni, oznacza to, że rozkład jest dodatnio skośny.
Jeśli współczynnik skośności Pearsona jest ujemny, oznacza to, że rozkład jest ujemnie skośny.
Jeśli współczynnik skośności Pearsona wynosi zero, oznacza to, że rozkład jest symetryczny.

Jednakże współczynnik Pearsona można obliczyć tylko wtedy, gdy rozkład jest jednomodalny, w przeciwnym razie należy zastosować współczynnik asymetrii Fishera, którego wzór wygląda następująco:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

Złoto

$\mu$

średnia arytmetyczna,

$\sigma$

odchylenie standardowe i

$N$

całkowita liczba danych.

Interpretacja współczynnika asymetrii Fishera jest identyczna ze współczynnikiem Pearsona: jeśli jest dodatni, oznacza to, że rozkład jest dodatnio asymetryczny, jeśli jest ujemny, rozkład jest ujemnie asymetryczny, a jeśli wynosi zero, oznacza to, że rozkład jest symetryczny.

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej