Rozkład wielomianowy

Przez Benjamin Anderson 4 sierpnia, 2023 Prawdopodobieństwo 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym jest rozkład wielomianowy w statystyce. Znajdziesz więc definicję rozkładu wielomianowego, jaki jest jego wzór, rozwiązane ćwiczenie i jakie są właściwości tego typu rozkładu prawdopodobieństwa. Dodatkowo będziesz mógł obliczyć prawdopodobieństwo rozkładu wielomianowego za pomocą kalkulatora online.

Co to jest rozkład wielomianowy?

Rozkład wielomianowy (lub rozkład wielomianowy ) to rozkład prawdopodobieństwa opisujący prawdopodobieństwo wystąpienia kilku wzajemnie wykluczających się zdarzeń określoną liczbę razy po kilku próbach.

Oznacza to, że jeśli w wyniku losowego eksperymentu mogą zaistnieć trzy lub więcej wykluczających się zdarzeń i znane jest prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia z osobna, do obliczenia prawdopodobieństwa, że po przeprowadzeniu wielu eksperymentów wystąpi określona liczba zdarzeń, stosuje się rozkład wielomianowy. czas za każdym razem.

Rozkład wielomianowy jest zatem uogólnieniem rozkładu dwumianowego.

Wzór na rozkład wielomianowy

Aby obliczyć prawdopodobieństwo rozkładu wielomianowego, należy najpierw określić iloraz silni całkowitej liczby danych i silni liczby wystąpień każdego zdarzenia, a wynik mnoży się przez iloczyn prawdopodobieństwa każdego zdarzenia. doprowadzono do liczby wystąpień tego zdarzenia.

Innymi słowy, wzór na rozkład wielomianowy jest następujący:

Złoto:

$P$

jest prawdopodobieństwem obliczonego rozkładu wielomianowego.
$n$

to całkowita liczba wykonanych testów.
$x_i$

to liczba wystąpień zdarzenia

$i$

.
$p_i$

jest prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia

$i$

.

👉 Za pomocą poniższego kalkulatora możesz obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia zmiennej zgodnej z rozkładem wielomianowym.

Przykład rozkładu wielomianowego

Aby zakończyć zrozumienie koncepcji rozkładu wielomianowego, poniżej rozwiązałeś przykład obliczenia prawdopodobieństwa rozkładu wielomianowego.

Sklep oferuje trzy różne produkty. Kiedy klient dokonuje zakupu, prawdopodobieństwo, że będzie to produkt A, produkt B lub produkt C wynosi odpowiednio 30%, 15% i 55%. Znajdź prawdopodobieństwo, że gdy sklep sprzedał 8 sztuk, 2 sztuki będą dotyczyć produktu A, 1 produktu B i 5 produktów C.

Zdefiniowany problem jest regulowany rozkładem wielomianowym, dlatego konieczne jest zastosowanie wzoru na tego typu rozkład prawdopodobieństwa:

$P=\cfrac{n!}{x_1!\cdot x_2!\cdot x_3!}\cdot p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdot p_3^{x_3}$

Podstawiamy zatem dane z zadania do wzoru i wykonujemy obliczenie prawdopodobieństwa:

$P=\cfrac{8!}{2!\cdot 1!\cdot 5!}\cdot 0,30^{2}\cdot 0,15^{1}\cdot 0,55^{5}=0,114$

Zatem prawdopodobieństwo, że stanie się to, co mówi stwierdzenie problemu, wynosi 11,4%.

Kalkulator rozkładu wielomianowego

Wpisz liczbę wystąpień każdego zdarzenia w pierwszym polu i, w tej samej kolejności, prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia w drugim polu. Następnie wpisz całkowitą liczbę prób podjętych w ostatnim pustym miejscu.

Dane należy oddzielić spacją i wprowadzić z użyciem kropki jako separatora dziesiętnego.

Własności rozkładu wielomianowego

Rozkład wielomianowy ma następujące cechy:

W rozkładzie wielomianowym wartość oczekiwana liczby wystąpień zdarzenia i przy przeprowadzaniu n prób jest równa całkowitej liczbie przeprowadzonych prób pomnożonej przez prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia.

$E[x_i]=n\cdot p_i$

W rozkładzie wielomianowym wariancję zdarzenia i oblicza się za pomocą następującego wyrażenia:

$Var(x_i)=n\cdot p_i\cdot (1-p_i)$

Podobnie kowariancja między dwoma zdarzeniami jest równa iloczynowi całkowitej liczby prób pomnożonej przez prawdopodobieństwo każdego zdarzenia pomnożone przez -1:

$Cov(x_i,x_j)=-n\cdot p_i\cdot p_j\qquad i\neq j$

Funkcja generująca moment dla rozkładu wielomianowego to:

$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^k p_ie^{t_i}\right) ^n$

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej