Przedział ufności dla różnicy proporcji

Przedział ufności (CI) dla różnicy proporcji to zakres wartości, który prawdopodobnie będzie zawierał prawdziwą różnicę między dwiema proporcjami populacji przy pewnym poziomie ufności.

W tym samouczku wyjaśniono następujące kwestie:

• Motywacja do utworzenia tego przedziału ufności.
• Wzór do utworzenia tego przedziału ufności.
• Przykład obliczenia tego przedziału ufności.
• Jak interpretować ten przedział ufności.

CI dla różnicy proporcji: motywacja

Naukowcy często chcą oszacować różnicę między dwiema proporcjami populacji. Aby oszacować tę różnicę, pobiorą losową próbkę z każdej populacji i obliczą proporcję dla każdej próbki. Następnie mogą porównać różnicę między tymi dwiema proporcjami.

Nie mogą jednak wiedzieć na pewno, czy różnica w proporcjach próby odpowiada rzeczywistej różnicy w proporcjach populacji. Dlatego mogą stworzyć przedział ufności dla różnicy między tymi dwiema proporcjami. Zapewnia to zakres wartości, który prawdopodobnie będzie zawierał rzeczywistą różnicę między proporcjami populacji.

Załóżmy na przykład, że chcemy oszacować różnicę między odsetkiem mieszkańców popierających określone prawo w hrabstwie A a odsetkiem mieszkańców popierających prawo w hrabstwie B.

Ponieważ w każdym okręgu mieszkają tysiące mieszkańców, badanie każdego mieszkańca w każdym okręgu byłoby zbyt czasochłonne i kosztowne.

Zamiast tego moglibyśmy pobrać prostą losową próbę mieszkańców z każdego hrabstwa i użyć proporcji na korzyść prawa w każdej próbie, aby oszacować rzeczywistą różnicę w proporcjach między dwoma hrabstwami:

Ponieważ nasze próbki są losowe, nie ma gwarancji, że różnica w proporcjach między dwiema próbami odpowiada dokładnie różnicy w proporcjach między dwiema populacjami. Aby więc uchwycić tę niepewność, możemy utworzyć przedział ufności zawierający zakres wartości, który prawdopodobnie będzie zawierał prawdziwą różnicę w proporcjach między dwiema populacjami.

CI dla różnicy proporcji: wzór

Do obliczenia przedziału ufności dla różnicy pomiędzy dwiema proporcjami populacji stosujemy następujący wzór:

Przedział ufności = (p ₁ –p ₂ ) +/- z*√(p ₁ (1-p ₁ )/n ₁ + p ₂ (1-p ₂ )/n ₂ )

Złoto:

• p ₁ , p ₂ : proporcja próbki 1, proporcja próbki 2
• z: wartość krytyczna z oparta na poziomie ufności
• n ₁ , n ₂ : wielkość próby 1, wielkość próby 2

Używana wartość z zależy od wybranego poziomu ufności. W poniższej tabeli przedstawiono wartość z odpowiadającą najczęściej wybieranym poziomom ufności:

Należy zauważyć, że wyższe poziomy ufności odpowiadają większym wartościom z, co prowadzi do szerszych przedziałów ufności. Oznacza to, że na przykład 95% przedział ufności będzie szerszy niż 90% przedział ufności dla tego samego zestawu danych.

CI dla różnicy proporcji: przykład

Załóżmy, że chcemy oszacować różnicę między odsetkiem mieszkańców popierających określone prawo w hrabstwie A w porównaniu z odsetkiem popierającym prawo w hrabstwie B. Oto podsumowanie danych dla każdej próby:

Próbka 1:

• n ₁ = 100
• p ₁ = 0,62 (tj. 62 mieszkańców na 100 popiera ustawę)

Próbka 2:

• _n2 = 100
• p ₂ = 0,46 (tj. 46 mieszkańców na 100 popiera ustawę)

Oto jak znaleźć różne przedziały ufności dla różnicy w proporcjach populacji:

90% przedział ufności:

(0,62-0,46) +/- 1,645*√(0,62(1-0,62)/100 + 0,46(1-0,46)/100) = [0,0456, 0,2744]

95% przedział ufności:

(0,62-0,46) +/- 1,96*√(0,62(1-0,62)/100 + 0,46(1-0,46)/100) = [0,0236, 0,2964]

99% przedział ufności:

(0,62-0,46) +/- 2,58*√(0,62(1-0,62)/100 + 0,46(1-0,46)/100) = [-0,0192, 0,3392]

Uwaga: te przedziały ufności można także znaleźć za pomocą kalkulatora przedziału ufności dla różnicy proporcji .

CI dla różnicy proporcji : interpretacja

Sposób, w jaki interpretujemy przedział ufności, wygląda następująco:

Istnieje 95% szans, że przedział ufności [0,0236, 0,2964] zawiera rzeczywistą różnicę w odsetku mieszkańców popierających prawo pomiędzy obydwoma powiatami.

Ponieważ przedział ten nie zawiera wartości „0”, oznacza to, że jest bardzo prawdopodobne, że istnieje rzeczywista różnica w odsetku mieszkańców popierających tę ustawę w hrabstwie A w porównaniu z hrabstwem B.