Jaki jest współczynnik korygujący skończonej populacji?

Większość wzorów używanych do obliczania błędów standardowych opiera się na założeniu, że (1) próbki wybiera się w drodze zastępowania lub (2)próbki wybiera się z nieskończonej populacji.

W rzeczywistych badaniach żaden z tych pomysłów nie jest prawdziwy. Na szczęście nie stanowi to problemu, jeśli wielkość próby jest mniejsza niż 5% całkowitej wielkości populacji.

Jednakże, gdy wielkość próby jest większa niż 5% całkowitej populacji, zaleca się zastosowanie poprawki na populację skończoną (często w skrócie FPC ), którą oblicza się w następujący sposób:

FPC = √ (Nn) / (N-1)

Złoto:

• N: Wielkość populacji
• n: wielkość próbki

Jak korzystać ze skończonego współczynnika korygującego populację

Aby zastosować poprawkę na skończoną populację, wystarczy pomnożyć ją przez błąd standardowy, którego użyłbyś pierwotnie.

Na przykład błąd standardowy średniej oblicza się w następujący sposób:

Błąd standardowy średniej: s / √ n

Stosując korektę na skończoną populację, wzór staje się:

Błąd standardowy średniej: s / √ n * √ (Nn) / (N-1)

Poniższe przykłady ilustrują sposób stosowania poprawki na populację skończoną w różnych scenariuszach.

Przykład 1: Przedział ufności dla proporcji

Naukowcy chcą oszacować odsetek mieszkańców 1300-osobowego powiatu opowiadających się za pewnym prawem. Wybierają losową próbę 100 mieszkańców i pytają ich o ich stanowisko wobec prawa. Oto wyniki:

• Wielkość próby n = 100
• Proporcja na korzyść prawa p = 0,56

Ogólnie rzecz biorąc, wzór na obliczenie 95% przedziału ufności dla odsetka populacji jest następujący:

95% CI = p +/- z*(√ p(1-p) / n )

Jednakże wielkość naszej próby w tym przykładzie wynosi 100/1300 = 7,7% populacji, co przekracza 5%. Zatem musimy zastosować korektę populacji skończonej do naszego wzoru na przedział ufności:

95% CI = p +/- z*(√ p(1-p)/n ) * √ (Nn) / (N-1)

Zatem nasz 95% przedział ufności można obliczyć jako:

95% CI = 0,56 +/- 1,96*(√ 0,56(1-0,56) / 100 ) * √ (1300-100) / (1300-1) = [0,4665, 0,6535]

Przykład 2: Przedział ufności dla średniej

Naukowcy chcą oszacować średnią masę danego gatunku wśród 500 żółwi. Wybierają więc losową próbkę 40 żółwi i ważą każdy z nich. Oto wyniki:

• Wielkość próby n = 40
• Średnia masa próbki x = 300
• Próbka odchylenie standardowe s = 18,5

Ogólnie rzecz biorąc, wzór na obliczenie 95% przedziału ufności dla średniej populacji jest następujący:

95% CI = x +/- t _α/2 *(s/√n)

Jednakże wielkość naszej próby w tym przykładzie wynosi 40/500 = 8% populacji, co przekracza 5%. Zatem musimy zastosować korektę populacji skończonej do naszego wzoru na przedział ufności:

95% CI = x +/- t _α/2 *(s/√n) * √ (Nn) / (N-1)

Zatem nasz 95% przedział ufności można obliczyć jako:

95% CI = 300 +/- 2,0227*(18,5/√ 40 ) * √ (500-40) / (500-1) = [294,32, 305,69]

Dodatkowe zasoby

Co to są przedziały ufności?
Margines błędu a błąd standardowy: jaka jest różnica?
Odchylenie standardowe i błąd standardowy: jaka jest różnica?