Przedział ufności dla średniej

Przedział ufności dla średniej to zakres wartości, który prawdopodobnie będzie zawierał średnią populacji przy pewnym poziomie ufności.

W tym samouczku wyjaśniono następujące kwestie:

• Motywacja do stworzenia przedziału ufności dla średniej.
• Wzór na utworzenie przedziału ufności dla średniej.
• Przykład obliczenia przedziału ufności dla średniej.
• Jak interpretować przedział ufności dla średniej.

Przedział ufności dla średniej: motywacja

Powodem, dla którego chcielibyśmy w ogóle utworzyć przedział ufności dla średniej, jest to, że chcemy uchwycić naszą niepewność podczas szacowania średniej populacji.

Załóżmy na przykład, że chcemy oszacować średnią wagę określonego gatunku żółwia na Florydzie. Ponieważ na Florydzie żyją tysiące żółwi, obchodzenie i ważenie każdego żółwia z osobna byłoby niezwykle czasochłonne i kosztowne.

Zamiast tego moglibyśmy pobrać prostą losową próbkę 50 żółwi i użyć średniej masy żółwi w tej próbie do oszacowania prawdziwej średniej populacji:

Problem polega na tym, że nie ma gwarancji, że średnia masa próbki będzie dokładnie odpowiadać średniej masie całej populacji. Aby więc uchwycić tę niepewność, możemy utworzyć przedział ufności zawierający zakres wartości, które prawdopodobnie będą zawierać rzeczywistą średnią masę żółwi w populacji.

Przedział ufności dla średniej: wzór

Do obliczenia przedziału ufności dla średniej używamy następującego wzoru:

Przedział ufności = x +/- z*(s/√ n )

Złoto:

• x : przykładowe środki
• z: wybrana wartość z
• s: odchylenie standardowe próbki
• n: wielkość próbki

Używana wartość z zależy od wybranego poziomu ufności. W poniższej tabeli przedstawiono wartość z odpowiadającą najczęściej wybieranym poziomom ufności:

Należy zauważyć, że wyższe poziomy ufności odpowiadają większym wartościom z, co prowadzi do szerszych przedziałów ufności. Oznacza to, że na przykład 99% przedział ufności będzie szerszy niż 95% przedział ufności dla tego samego zestawu danych.

Przedział ufności dla średniej: przykład

Załóżmy, że zbieramy losową próbkę żółwi z następującymi informacjami:

• Wielkość próby n = 25
• Średnia masa próbki x = 300
• Próbka odchylenie standardowe s = 18,5

Oto jak znaleźć różne przedziały ufności dla prawdziwej średniej masy populacji:

90% przedział ufności: 300 +/- 1,645*(18,5/√ 25 ) = [293,91, 306,09]

95% przedział ufności: 300 +/- 1,96*(18,5/√ 25 ) = [292,75, 307,25]

99% przedział ufności: 300 +/- 2,58*(18,5/√ 25 ) = [ 290,47 , 309,53]

Uwaga: te przedziały ufności można również znaleźć za pomocą kalkulatora statystycznego przedziału ufności .

Przedział ufności dla średniej: interpretacja

Sposób, w jaki interpretujemy przedział ufności, wygląda następująco:

Istnieje 95% szans, że przedział ufności [292,75, 307,25] zawiera rzeczywistą średnią masę populacji żółwi.

Innym sposobem powiedzenia tego samego jest stwierdzenie, że istnieje tylko 5% szans, że prawdziwa średnia populacji leży poza 95% przedziałem ufności. Oznacza to, że istnieje tylko 5% szans, że faktyczna średnia waga populacji żółwi będzie większa niż 307,25 funtów lub mniejsza niż 292,75 funtów.