Średnia arytmetyczna

Przez Benjamin Anderson 6 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

Tutaj wyjaśniamy, czym jest średnia arytmetyczna i jak jest obliczana. Znajdziesz przykłady średnich arytmetycznych, a nawet kalkulator pozwalający znaleźć średnią arytmetyczną dowolnej próbki statystycznej. Wreszcie będziesz mógł zobaczyć, jakie są właściwości tego typu średniej i w jaki sposób uzyskuje się średnią arytmetyczną z danych pogrupowanych w przedziały.

Co to jest średnia arytmetyczna?

Średnia arytmetyczna jest centralną wartością charakteryzującą zbiór danych statystycznych. Aby obliczyć średnią arytmetyczną, wszystkie wartości są dodawane i dzielone przez całkowitą liczbę danych.

Ponadto średnia arytmetyczna jest jednym z głównych wskaźników wykorzystywanych do przeprowadzenia badania statystycznego próby.

Wzór na średnią arytmetyczną jest zatem następujący:

Symbolem średniej arytmetycznej jest poziomy pasek nad literą x.

$(\overline{x}).$

Możesz także odróżnić średnią próbki od średniej populacji za pomocą symbolu średniej: średnia próbki jest wyrażana za pomocą symbolu

$\overline{x}$

z drugiej strony, w przypadku średniej populacji używamy litery greckiej

$\mu.$

Należy zauważyć, że średnia arytmetyczna populacji jest równa oczekiwanej wartości zmiennej statystycznej.

Średnia arytmetyczna, zwana także średnią arytmetyczną, nie jest jedynym rodzajem średniej, jaki istnieje. Istnieje również między innymi średnia ważona, średnia kwadratowa, średnia geometryczna i średnia harmoniczna. Sposób wyliczania każdego z nich możesz sprawdzić w wyszukiwarce naszego serwisu.

Jak obliczyć średnią arytmetyczną

Aby obliczyć średnią arytmetyczną, należy wykonać następujące kroki:

Dodaj wszystkie dane statystyczne z próbki.
Podziel poprzednią sumę przez całkowitą liczbę danych.
Otrzymany wynik jest średnią arytmetyczną próby statystycznej.

👉 Za pomocą poniższego kalkulatora możesz obliczyć średnią arytmetyczną dowolnego zbioru danych.

Przykład obliczenia średniej arytmetycznej

Biorąc pod uwagę definicję średniej arytmetycznej, zobaczymy, jak uzyskać średnią arytmetyczną zbioru danych, rozwiązując przykład krok po kroku.

Uczeń uzyskał w ciągu roku szkolnego następujące oceny: z matematyki 9, z języka 7, z historii 6, z ekonomii 8 i nauk przyrodniczych 7,5. Jaka jest średnia arytmetyczna wszystkich twoich ocen?

Aby obliczyć średnią arytmetyczną, należy dodać wszystkie oceny, a następnie podzielić przez całkowitą liczbę przedmiotów na kursie, czyli 5. Dlatego stosujemy wzór na średnią arytmetyczną:

$\displaystyle\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{N}$

Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy średnią arytmetyczną:

$\overline{x}=\cfrac{9+7+5+8+7,5}{5}=7,3$

Jak widać, w średniej arytmetycznej każdej wartości przypisuje się tę samą wagę, czyli każda porcja danych ma tę samą wagę w całości.

Kalkulator średniej arytmetycznej

Wprowadź dane z dowolnej próbki statystycznej do poniższego kalkulatora, aby obliczyć jej średnią arytmetyczną. Dane należy oddzielić spacją i wprowadzić z użyciem kropki jako separatora dziesiętnego.

Średnia arytmetyczna dla pogrupowanych danych

Przez pogrupowane dane rozumiemy strukturę danych w formie grup lub przedziałów. Dzieje się tak zwykle, gdy wielkość próby statystycznej jest bardzo duża.

Zatem obliczenie średniej arytmetycznej różni się nieco, gdy dane są zgrupowane razem, mimo że koncepcja jest taka sama.

Aby obliczyć średnią arytmetyczną danych pogrupowanych w przedziały, wynik klasy każdej grupy należy pomnożyć przez jej częstotliwość bezwzględną, a następnie podzielić przez sumę wszystkich częstotliwości bezwzględnych.

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^N x_i\cdot f_i}{\sum_{i=1}^N f_i} =\frac{x_1\cdot f_1+ x_2\cdot f_2+\dots +x_N\cdot f_N}{N}$

Uwaga: Wynik w klasie interwału oblicza się, dzieląc sumę punktów końcowych interwału przez dwa. Na przykład notatka klasowa przedziału [3,7) będzie brzmieć:

$\cfrac{3+7}{2}=5$

Aby zobaczyć, jak to się robi, poniżej znajduje się rozwiązane ćwiczenie ze średniej arytmetycznej danych pogrupowanych w przedziały:

Chcemy statystycznie zbadać masę grupy, w tym celu przeprowadziliśmy wywiady na reprezentatywnej grupie 81 osób i uzyskaliśmy następujące dane:

Gdzie x _i to wynik klasy każdej grupy, a f _i jego częstotliwość bezwzględna, to znaczy liczba osób, których waga mieści się w tym przedziale.

Aby wyznaczyć średnią arytmetyczną, należy w tabeli częstości dodać kolumnę będącą iloczynem notatek klasowych przez ich odpowiednie częstotliwości bezwzględne:

ćwiczenie średniej arytmetycznej rozwiązane dla pogrupowanych danych

Zatem, aby obliczyć średnią arytmetyczną zgrupowanych danych, wystarczy podzielić sumę iloczynów notatek z zajęć przez ich częstotliwości przez całkowitą liczbę danych:

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^N x_i\cdot f_i}{\sum_{i=1}^N f_i} =\frac{4985}{81}=61,54 \text{ kg}$

Własności średniej arytmetycznej

Średnia arytmetyczna ma następujące cechy:

Suma odchyleń wszystkich danych w rozkładzie od średniej daje zero.

$\sum_{i=1}^N\left(x_i-\overline{x}\right)=0$

Jeśli dodamy tę samą ilość do wszystkich danych w próbie, oznacza to, że próbka wzrośnie o tę kwotę.

To samo dzieje się z mnożeniem, jeśli pomnoży się wszystkie wartości w próbce przez liczbę, średnia próbki zostanie pomnożona przez tę liczbę.

Średnią arytmetyczną można obliczyć jedynie w przypadku zmiennych ilościowych . Innymi słowy, nie można przyjąć średniej zmiennych jakościowych.

Średnia arytmetyczna będzie zawsze wartością pomiędzy minimum i maksimum rozkładu.

$\text{min}\{x_1,x_2,...,x_N\}\leq \cfrac{x_1+\dots +x_N}{N}\leq \text{max}\{x_1,x_2,...,x_N\}$

Ten typ średniej jest bardzo wrażliwy na bardzo wysokie lub bardzo niskie wartości, co powoduje, że wartość odstająca znacząco zmienia wynik średniej arytmetycznej.

Średnia arytmetyczna zbioru danych jest zawsze równa lub większa od średniej geometrycznej tego samego zbioru danych.

$\displaystyle\frac{x_1+x_2+\dots+x_N}{N}\geq \sqrt[N]{x_1+x_2+\dots+x_N}$

Oblicz średnią arytmetyczną w programie Excel

Obliczanie średniej arytmetycznej w programie Excel jest bardzo proste, ponieważ wystarczy wprowadzić dane na arkusz i skorzystać z funkcji ŚREDNIA .

Na przykład, aby wyznaczyć średnią arytmetyczną danych z pierwszego rozwiązanego ćwiczenia, które wyjaśniliśmy, po prostu skopiuj wszystkie dane do dokumentu Excel i wpisz w komórce następującą formułę: =ŚREDNIA(9;7;5; 8;7 ,5) . Funkcja zwróci średnią arytmetyczną danych, która wynosi 7,3.

Oczywiście znacznie szybciej jest znaleźć średnią arytmetyczną niektórych liczb za pomocą programu Excel, niż obliczyć ją ręcznie, zwłaszcza gdy wielkość próby jest bardzo duża.

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej