Statystyki kontrastowe

Przez Benjamin Anderson 3 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym jest statystyka kontrastu, jakie są najczęstsze wzory na statystykę kontrastu i nie tylko, związek między statystyką kontrastu, obszarem odrzucenia i obszarem akceptacji.

Jaka jest statystyka kontrastu?

Statystyka kontrastu jest zmienną o znanym rozkładzie prawdopodobieństwa związanym z postawioną hipotezą badawczą. W szczególności statystyka kontrastu jest wykorzystywana do testowania hipotez w celu odrzucenia lub zaakceptowania hipotezy zerowej.

W rzeczywistości decyzja o odrzuceniu hipotezy zerowej w ramach testu hipotezy opiera się na wartości statystyki testowej. Jeżeli wartość statystyki testowej mieści się w obszarze odrzucenia, hipoteza zerowa zostaje odrzucona. natomiast jeśli wartość statystyki testowej mieści się w obszarze akceptacji, przyjmuje się hipotezę zerową.

➤ Zobacz: Testowanie hipotez (statystyki)

Wzory statystyczne kontrastu

W zależności od rodzaju testu hipotezy rozkład statystyki testowej jest różny. Wzór na statystykę testową zależy zatem również od rodzaju testowania hipotez. Następnie zobaczymy, jak obliczana jest statystyka testowa w zależności od rodzaju testu hipotezy.

Statystyka kontrastu dla średniej

Wzór na statystykę testującą hipotezę dla średniej ze znaną wariancją jest następujący:

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Złoto:

$Z$

jest statystyką testową hipotezy dla średniej.
$\overline{x}$

to przykładowe środki.
$\mu$

jest proponowaną wartością średnią.
$\sigma$

jest odchyleniem standardowym populacji.
$n$

to wielkość próbki.

Po obliczeniu statystyki kontrastu hipotezy dla średniej wynik należy zinterpretować w taki sposób, aby odrzucić lub odrzucić hipotezę zerową:

Jeżeli test hipotezy dla średniej jest dwustronny, hipotezę zerową odrzuca się, jeśli wartość bezwzględna statystyki jest większa niż wartość krytyczna Z _α/2 .
Jeśli test hipotezy dla średniej odpowiada prawemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest większa niż wartość krytyczna Z _α .
Jeśli test hipotezy dla średniej odpowiada lewemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest mniejsza niż wartość krytyczna -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

W tym przypadku wartości krytyczne uzyskuje się ze standardowej tabeli rozkładu normalnego.

Z drugiej strony wzór na statystykę testującą hipotezę dla średniej o nieznanej wariancji jest następujący:

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

Złoto:

$t$

jest statystyką testu hipotezy dla średniej, która jest zdefiniowana przez rozkład t-Studenta.
$\overline{x}$

to przykładowe środki.
$\mu$

jest proponowaną wartością średnią.
$s$

jest odchyleniem standardowym próbki.
$n$

to wielkość próbki.

Tak jak poprzednio, obliczony wynik statystyki kontrastu należy interpretować z wartością krytyczną, aby odrzucić lub nie hipotezę zerową:

Jeżeli test hipotezy dla średniej jest dwustronny, hipotezę zerową odrzuca się, jeśli wartość bezwzględna statystyki jest większa niż wartość krytyczna t _α/2|n-1 .
Jeśli test hipotezy dla średniej odpowiada prawemu ogonowi, hipoteza zerowa zostaje odrzucona, jeśli statystyka jest większa niż wartość krytyczna t _α|n-1 .
Jeśli test hipotezy dla średniej odpowiada lewemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest mniejsza niż wartość krytyczna -t _α|n-1 .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Gdy wariancja nie jest znana, krytyczne wartości testowe uzyskuje się z tabeli rozkładu Studenta.

➤ Zobacz: Testowanie hipotez dla średniej

Statystyka kontrastu dla proporcji

Wzór na statystykę testującą hipotezę dotyczącą proporcji jest następujący:

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Złoto:

$Z$

jest statystyką testującą hipotezę dla proporcji.
$\widehat{p}$

jest proporcją próbki.
$p$

jest proponowaną wartością proporcji.
$n$

to wielkość próbki.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

jest odchyleniem standardowym proporcji.

Należy pamiętać, że nie wystarczy obliczyć statystykę testu hipotezy dla proporcji, ale wynik należy następnie zinterpretować:

Jeżeli test hipotezy dla proporcji jest dwustronny, hipotezę zerową odrzuca się, jeśli wartość bezwzględna statystyki jest większa niż wartość krytyczna Z _α/2 .
Jeśli test hipotezy dla proporcji odpowiada prawemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest większa niż wartość krytyczna Z _α .
Jeśli test hipotezy dla proporcji odpowiada lewemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest mniejsza niż wartość krytyczna -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Pamiętaj, że wartości krytyczne można łatwo uzyskać ze standardowej tabeli rozkładu normalnego.

➤ Zobacz: Testowanie hipotez dotyczących proporcji

Statystyka kontrastowa dla wariancji

Wzór na obliczenie statystyki testu hipotezy dla wariancji jest następujący:

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

Złoto:

$\chi^2$

jest statystyką testującą hipotezę dotyczącą wariancji, która ma rozkład chi-kwadrat.
$n$

to wielkość próbki.
$s^2$

jest wariancją próbki.
$\sigma^2$

jest wariancją proponowanej populacji.

Aby zinterpretować wynik statystyki, uzyskaną wartość należy porównać z wartością krytyczną testu.

Jeśli test hipotezy na wariancję jest dwustronny, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest większa niż wartość krytyczna.
$\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$

lub jeśli wartość krytyczna jest mniejsza niż

$\chi_{\alpha/2|n-1}$

.
Jeśli test hipotezy dla wariancji pasuje do prawego ogona, hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli statystyka jest większa niż wartość krytyczna
$\chi_{1-\alpha|n-1}^2$

.
Jeżeli test hipotezy pod kątem wariancji pasuje do lewego ogona, hipoteza zerowa zostaje odrzucona, jeśli statystyka jest mniejsza niż wartość krytyczna
$\chi_{\alpha|n-1}$

.

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Wartości testowe hipotezy krytycznej dla wariancji uzyskuje się z tabeli rozkładu chi-kwadrat. Należy zauważyć, że stopnie swobody rozkładu chi-kwadrat to wielkość próby minus 1.

➤ Zobacz: Testowanie hipotezy wariancji

Statystyka kontrastowa, region odrzucenia i obszar akceptacji

W teście hipotez obszar odrzucenia to obszar wykresu rozkładu statystyki testowej, który implikuje odrzucenie hipotezy zerowej (i akceptację hipotezy alternatywnej). Z drugiej strony obszar akceptacji to obszar wykresu rozkładu statystyki testowej, który implikuje akceptację hipotezy zerowej (i odrzucenie hipotezy alternatywnej).

Zatem wartość statystyki kontrastu determinuje wynik testu hipotezy w następujący sposób:

Jeżeli statystyka testowa mieści się w obszarze odrzucenia, hipoteza zerowa zostaje odrzucona i przyjęta zostaje hipoteza alternatywna.
Jeśli statystyka testowa mieści się w obszarze akceptacji, hipoteza zerowa jest akceptowana, a hipoteza alternatywna odrzucana.

Wartości oddzielające obszar odrzucenia od obszaru akceptacji nazywane są wartościami krytycznymi . Dlatego musimy obliczyć wartości krytyczne, aby poznać granice obszaru odrzucenia i obszaru akceptacji, a tym samym wiedzieć, kiedy odrzucić, a kiedy zaakceptować hipotezę zerową.

➤ Zobacz: Wartość krytyczna

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej

Jaka jest statystyka kontrastu?

Wzory statystyczne kontrastu

Statystyka kontrastu dla średniej

Statystyka kontrastu dla proporcji

Statystyka kontrastowa dla wariancji

Statystyka kontrastowa, region odrzucenia i obszar akceptacji

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Dodaj komentarz