Test przydatności

Przez Benjamin Anderson 2 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym jest test dobroci dopasowania i do czego służy w statystyce. Pokazuje również, jak wykonać test dopasowania, a dodatkowo będziesz mógł zobaczyć krok po kroku rozwiązane ćwiczenie.

Co to jest test dopasowania?

Test dobroci dopasowania to test statystyczny, który pozwala nam określić, czy próbka danych pasuje do określonego rozkładu prawdopodobieństwa . Innymi słowy, test adekwatności służy sprawdzeniu, czy zaobserwowane dane odpowiadają danym oczekiwanym.

Często staramy się przewidywać zjawisko i w rezultacie mamy oczekiwane wartości dotyczące tego zjawiska, które naszym zdaniem wystąpią. Musimy jednak wówczas zebrać dane i sprawdzić, czy zebrane dane odpowiadają naszym oczekiwaniom. Testy adekwatności pozwalają zatem za pomocą kryterium statystycznego zdecydować, czy dane oczekiwane i dane obserwowane są podobne, czy nie.

Zatem test dobroci dopasowania jest testem hipotez , którego hipoteza zerowa głosi, że obserwowane wartości są równe wartościom oczekiwanym, natomiast alternatywna hipoteza testu wskazuje, że obserwowane wartości różnią się statystycznie od oczekiwanych wartości.

$\begin{cases}H_0: f(x)=f_o(x)\\[2ex]H_1: f(x)\neq f_o(x)\end{cases}$

W statystyce test dobroci dopasowania jest również nazywany testem chi-kwadrat , ponieważ rozkładem odniesienia testu jest rozkład chi-kwadrat.

Formuła testu dopasowania

Statystyka testu dobroci dopasowania jest równa sumie kwadratów różnic między wartościami obserwowanymi i wartościami oczekiwanymi podzielonej przez wartości oczekiwane.

Zatem wzór na test adekwatności jest następujący:

$\displaystyle\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$

Złoto:

$\chi^2$

jest statystyką testu dobroci dopasowania, która jest zgodna z rozkładem chi-kwadrat

$k-1$

stopnie swobody.
$k$

to wielkość próbki danych.
$O_i$

jest obserwowaną wartością danych, tj.
$E_i$

jest oczekiwaną wartością danych, tj.

Zatem biorąc pod uwagę poziom znaczenia

$\alpha$

, obliczoną statystykę testową należy porównać z krytyczną wartością testową, aby określić, czy odrzucić hipotezę zerową, czy hipotezę alternatywną testu hipotezy:

Jeśli statystyka testowa jest mniejsza niż wartość krytyczna
$\chi_{1-\alpha|k-1}^2$

, hipoteza alternatywna zostaje odrzucona (i przyjęta zostaje hipoteza zerowa).
Jeśli statystyka testowa jest większa niż wartość krytyczna
$\chi_{1-\alpha|k-1}^2$

, hipoteza zerowa zostaje odrzucona (i przyjęta zostaje hipoteza alternatywna).

$\begin{array}{l}\text{Si } \chi^2<\chi^2_{1-\alpha|k-1}\text{ se rechaza } H_1\\[3ex]\text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|k-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”70″ width=”243″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <h2 class=$ Jak wykonać test dopasowania

Aby przeprowadzić test przydatności, należy wykonać następujące kroki:

Najpierw ustalamy hipotezę zerową i hipotezę alternatywną testu dobroci dopasowania.
Po drugie, wybieramy poziom ufności , a tym samym poziom istotności , testu dobroci dopasowania.
Następnie obliczamy statystykę testu dobroci dopasowania, której wzór znajdziesz w powyższej sekcji.
Wartość krytyczną testu dobroci dopasowania wyznaczamy za pomocą tabeli rozkładu chi-kwadrat.
Porównujemy statystykę testową z wartością krytyczną:
- Jeśli statystyka testowa jest mniejsza niż wartość krytyczna, hipoteza alternatywna jest odrzucana (i akceptowana jest hipoteza zerowa).
- Jeżeli statystyka testowa jest większa od wartości krytycznej, hipoteza zerowa zostaje odrzucona (i przyjęta zostaje hipoteza alternatywna).

Przykład testu adekwatności

Właścicielka sklepu twierdzi, że 50% jej sprzedaży dotyczy produktu A, 35% jej sprzedaży dotyczy produktu B, a 15% jej sprzedaży dotyczy produktu C. Jednakże sprzedane jednostki każdego produktu są pokazane w poniższą tabelę. Przeanalizuj, czy dane teoretyczne właściciela różnią się statystycznie od danych faktycznie zebranych.

Produkt	Zaobserwowana sprzedaż (O _i )
Produkt A	453
Produkt B	268
Produkt C	79
Całkowity	800

Aby ustalić, czy zaobserwowane wartości są równoważne wartościom oczekiwanym, przeprowadzimy test dobroci dopasowania. Hipotezą zerową i hipotezą alternatywną testu są:

$\begin{cases}H_0: f(x)=f_o(x)\\[2ex]H_1: f(x)\neq f_o(x)\end{cases}$

W tym przypadku do testu zastosujemy poziom ufności 95%, zatem poziom istotności wyniesie 5%.

$\alpha=0,05$

Aby znaleźć oczekiwane wartości sprzedaży, musimy pomnożyć procent oczekiwanej sprzedaży każdego produktu przez liczbę całkowitej sprzedaży:

$\begin{array}{c}E_A=800\cdot 0,50=400\\[2ex]E_B=800\cdot 0,35=280\\[2ex]E_A=800\cdot 0,15=120\end{array}$

Dlatego tabela częstotliwości problemów wygląda następująco:

Produkt	Zaobserwowana sprzedaż (O _i )	Oczekiwana sprzedaż (E _i )
Produkt A	453	400
Produkt B	268	280
Produkt C	79	120
Całkowity	800	800

Teraz, gdy obliczyliśmy wszystkie wartości, stosujemy wzór testu chi-kwadrat do obliczenia statystyki testowej:

$\begin{array}{c}\displaystyle\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\\[6ex]\chi^2=\cfrac{(453-400)^2}{400}+\cfrac{(268-280)^2}{280}+\cfrac{(79-120)^2}{120}\\[6ex]\chi^2=7,02+0,51+14,00\\[6ex]\chi^2=21,53\end{array}$

Po obliczeniu wartości statystyki testowej używamy tabeli rozkładu chi-kwadrat, aby znaleźć wartość krytyczną testu. Rozkład chi-kwadrat ma

$k-1=3-1=2$

stopni swobody i poziomu istotności

$\alpha=0,05$

,Już:

$\begin{array}{c}\chi^2_{1-\alpha|k-1}=\ \color{orange}\bm{?}\color{black}\\[4ex]\chi^2_{0,95|2}=5,991\end{array}$

Zatem statystyka testowa (21,53) jest większa od krytycznej wartości testowej (5,991), dlatego hipotezę zerową odrzuca się i przyjmuje hipotezę alternatywną. Oznacza to, że dane są bardzo różne i dlatego właściciel sklepu spodziewał się innej sprzedaży niż faktycznie zrealizowana.

$21,53>5,991 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”17″ width=”354″ style=”vertical-align: -4px;”></p></p> </div>  <div class=$

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej

Co to jest test dopasowania?

Formuła testu dopasowania

Przykład testu adekwatności

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Dodaj komentarz