Co to jest własność bez pamięci? (definicja – przykład)

W statystyce mówi się, że rozkład prawdopodobieństwa ma właściwość braku pamięci , jeśli wystąpienie zdarzeń przeszłych nie wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia przyszłego zdarzenia.

Istnieją tylko dwa rozkłady prawdopodobieństwa z właściwością bez pamięci:

• Rozkład wykładniczy z nieujemnymi liczbami rzeczywistymi.
• Rozkład geometryczny z nieujemnymi liczbami całkowitymi.

Te dwa rozkłady prawdopodobieństwa służą do modelowania oczekiwanego czasu przed wystąpieniem zdarzenia.

Okazuje się, że w danym momencie wiedza o tym, ile czasu już minęło, tak naprawdę nie mówi nam, czy zdarzenie jest bardziej prawdopodobne wcześniej czy później.

Poniższe przykłady pomogą nam lepiej wyczuć właściwość bez pamięci.

Intuicja własności bez pamięci

Rozważ następujące przykłady:

Nie bez pamięci

Wiadomo, że laptopy pewnej marki wytrzymują średnio około 6 lat zanim umierają. Jeśli więc wiemy, że dany laptop ma 5 lat, przewidywany czas do jego śmierci jest dość krótki. Jeśli jednak inny laptop ma dopiero 1 rok, to przewidywany czas do jego śmierci jest dość długi.

W tym przykładzie wiedza o tym, ile czasu minęło w trakcie życia każdego laptopa, mówi nam, jak długo laptop będzie działał, aż do jego awarii. Zatem ten rozkład prawdopodobieństwa nie miałby żadnej właściwości bez pamięci.

Bez pamięci

Chyba Jessica jest właścicielką sklepu spożywczego. Chce wiedzieć, jak długo będzie musiała czekać, aż do sklepu wejdzie kolejny klient.

W tym przykładzie wiedza o tym, kiedy ostatni klient wszedł do sklepu, nie jest zbyt przydatna do przewidywania, kiedy wejdzie następny klient, ponieważ każdy klient jest niezależny i zachowuje się indywidualnie.

Zatem ten rozkład prawdopodobieństwa miałby właściwość bez pamięci. Innymi słowy, na prawdopodobieństwo wystąpienia przyszłego zdarzenia nie ma wpływu wystąpienie zdarzeń przeszłych.

Właściwość bez pamięci: formalna definicja

W formalnych terminach statystycznych mówi się, że zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa z właściwością bez pamięci, jeśli dla a i b   w {0, 1, 2, …} prawdą jest, że:

Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )

Załóżmy na przykład, że mamy rozkład prawdopodobieństwa z właściwością bez pamięci, a X to liczba prób do pierwszego sukcesu. Jeśli a = 30 i b = 10, wówczas powiedzielibyśmy:

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Pr(X > 30 + 10 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)
• Pr(X > 40 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)

Innymi słowy, jeśli mamy 30 nieudanych prób, prawdopodobieństwo, że będziemy musieli poczekać do próby nr 40 lub później, aby odnieść sukces, jest takie samo, jak prawdopodobieństwo rozpoczęcia od zera i zaczekania do próby nr 10. lub więcej, aby odnieść sukces.

Ponieważ ten rozkład prawdopodobieństwa ma właściwość braku pamięci, oznacza to, że znajomość liczby awarii, które mieliśmy do pewnego momentu, nadal nie mówi nam o prawdopodobieństwie awarii w przyszłości.

Właściwość bez pamięci: przykład

Załóżmy, że do sklepu wchodzi średnio 30 klientów na godzinę, a czas pomiędzy wejściami rozkłada się wykładniczo. Pomiędzy kolejnymi wizytami upływają średnio 2 minuty.

Zakłada się, że od przybycia ostatniego klienta minęło 10 minut. Biorąc pod uwagę, że jest to niezwykle długi okres czasu, bardziej prawdopodobne wydaje się, że klient dotrze w ciągu minuty.

Ponieważ jednak rozkład wykładniczy ma właściwość braku pamięci, okazuje się, że tak nie jest. Czas oczekiwania na przybycie kolejnego klienta nie zależy od czasu, jaki upłynął od przybycia ostatniego klienta.

Możemy to udowodnić za pomocą CDF rozkładu wykładniczego:

CDF: 1 – e ^-λx

gdzie λ oblicza się jako 1/średni czas między przybyciami. W naszym przykładzie λ = 1/2 = 0,5.

Jeśli ustalimy a = 10 i b = 1, wówczas mamy:

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Pr( ^X > 10 + 1 |

Niezależnie od tego, ile czasu minęło od przyjazdu ostatniego klienta, prawdopodobieństwo, że do kolejnego przybycia upłynie więcej niż minuta, wynosi 0,6065 .