Funkcja dystrybucji<\/strong> , zwana tak\u017ce dystrybuant\u0105<\/strong> , jest funkcj\u0105 matematyczn\u0105 wskazuj\u0105c\u0105 skumulowane prawdopodobie\u0144stwo dystrybucji. Oznacza to, \u017ce obraz funkcji rozk\u0142adu dla dowolnej warto\u015bci jest r\u00f3wny prawdopodobie\u0144stwu, \u017ce zmienna przyjmie t\u0119 warto\u015b\u0107 lub ni\u017csz\u0105 warto\u015b\u0107.<\/p>\n Do funkcji dystrybucji skumulowanej mo\u017cna tak\u017ce u\u017cywa\u0107 akronimu FDA, cho\u0107 jej zwyczajowym symbolem jest du\u017ca litera F.<\/p>\n Funkcj\u0119 rozk\u0142adu definiuje si\u0119 zatem za pomoc\u0105 nast\u0119puj\u0105cego wzoru: <\/p>\n<\/p>\n Nast\u0119pnie wyja\u015bnimy, jak obliczy\u0107 warto\u015b\u0107 funkcji rozk\u0142adu w zale\u017cno\u015bci od tego, czy rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa jest dyskretny, czy ci\u0105g\u0142y.<\/p>\n Je\u017celi zmienna losowa jest dyskretna, funkcja rozk\u0142adu skumulowanego jest r\u00f3wna sumie prawdopodobie\u0144stw wszystkich warto\u015bci r\u00f3wnych lub mniejszych ni\u017c x<\/em> .<\/p>\n<\/p>\n Z\u0142oto<\/p>\n<\/p>\n jest funkcj\u0105 prawdopodobie\u0144stwa powi\u0105zan\u0105 ze zmienn\u0105 dyskretn\u0105.<\/p>\n Je\u015bli zmienna losowa jest ci\u0105g\u0142a, funkcja rozk\u0142adu skumulowanego jest r\u00f3wnowa\u017cna ca\u0142ce funkcji g\u0119sto\u015bci od minus niesko\u0144czono\u015bci do danej warto\u015bci.<\/p>\n<\/p>\n Z\u0142oto<\/p>\n<\/p>\n jest funkcj\u0105 g\u0119sto\u015bci powi\u0105zan\u0105 ze zmienn\u0105 ci\u0105g\u0142\u0105. <\/p>\n Teraz, gdy znamy definicj\u0119 funkcji rozk\u0142adu, sp\u00f3jrzmy na praktyczny przyk\u0142ad krok po kroku, aby dowiedzie\u0107 si\u0119, jak obliczy\u0107 warto\u015b\u0107 funkcji rozk\u0142adu.<\/p>\n Aby rozwi\u0105za\u0107 \u0107wiczenie, nale\u017cy najpierw obliczy\u0107 wszystkie prawdopodobie\u0144stwa zwi\u0105zane z liczb\u0105 or\u0142\u00f3w uzyskanych podczas czterech rzut\u00f3w monet\u0105: <\/p>\n Poniewa\u017c jest to zmienna dyskretna, aby wyznaczy\u0107 obrazy funkcji rozk\u0142adu wystarczy doda\u0107 prawdopodobie\u0144stwa do warto\u015bci danej zmiennej:<\/p>\n<\/p>\n Zatem warto\u015bci rozk\u0142adu rzutu g\u0142ow\u0105 poprzez rzut czterema niezale\u017cnymi monetami s\u0105 nast\u0119puj\u0105ce: <\/p>\n Niezale\u017cnie od rodzaju zmiennej funkcja rozk\u0142adu ma zawsze nast\u0119puj\u0105ce w\u0142a\u015bciwo\u015bci:<\/p>\n spe\u0142nione s\u0105 nast\u0119puj\u0105ce r\u00f3wnania. <\/li>\n<\/ul>\n Na koniec zobaczymy, jaka jest r\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy funkcj\u0105 rozk\u0142adu a funkcj\u0105 g\u0119sto\u015bci, poniewa\u017c te dwa poj\u0119cia statystyczne s\u0105 cz\u0119sto mylone.<\/p>\n R\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy dystrybuant\u0105 a funkcj\u0105 g\u0119sto\u015bci<\/strong> to rodzaj definiowanego przez nie prawdopodobie\u0144stwa. Funkcja g\u0119sto\u015bci opisuje prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce zmienna przyjmie okre\u015blon\u0105 warto\u015b\u0107, natomiast funkcja rozk\u0142adu opisuje skumulowane prawdopodobie\u0144stwo zmiennej.<\/p>\n Oznacza to, \u017ce funkcja rozk\u0142adu s\u0142u\u017cy do obliczenia prawdopodobie\u0144stwa, \u017ce zmienna jest r\u00f3wna lub mniejsza od okre\u015blonej warto\u015bci.<\/p>\n Nale\u017cy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce funkcja g\u0119sto\u015bci odnosi si\u0119 tylko do zmiennych ci\u0105g\u0142ych, wi\u0119c to rozr\u00f3\u017cnienie ma sens tylko wtedy, gdy badana zmienna jest ci\u0105g\u0142a.<\/p>\n Zwr\u00f3\u0107 uwag\u0119, jak zmienia si\u0119 graficzna reprezentacja funkcji rozk\u0142adu w por\u00f3wnaniu z funkcj\u0105 g\u0119sto\u015bci zmiennej, kt\u00f3ra ma rozk\u0142ad normalny ze \u015bredni\u0105 1 i odchyleniem standardowym 0,5: <\/p>\n![\"F(x)=P[X\\leq](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c8cf5efd36881f74974a11b10af2dd4e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Jak obliczy\u0107 funkcj\u0119 rozk\u0142adu<\/span><\/h2>\n
<\/span> Dyskretne pude\u0142ko<\/span><\/h3>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3b978075c7791d3379a8c170010eb2c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(u)\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5875573ff1b51b9b17fc81a368fabc07_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/span> Ci\u0105g dalszy sprawy<\/span><\/h3>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36434a36d91add71ad209868965d6ccb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Przyk\u0142ad funkcji rozk\u0142adu<\/span><\/h2>\n
\n
![\"prawdopodobie\u0144stwo](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/probabilite-lancer-quatre-pieces.png\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"\\begin{array}{l}F(X\\leq](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-63c3574be5cdcf6de8b54f910c01e35e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/probabilite-cumulative-lancer-quatre-pieces.png\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> W\u0142asno\u015bci funkcji rozk\u0142adu<\/span><\/h2>\n
\n
![\"0\\leq](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b43459e3f1bfcf6f783408bb57f2b823_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"\\displaystyle\\lim_{x\\to](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18a8b8bd2a28b6e5bf66af92771f690e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"\\displaystyle\\lim_{x\\to](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-121e332e607371288d172844a59d5e8e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"x_1](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1b3f9780a83c58a6add1513c112f601b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"a\\leq](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-42ce2269b42ed638b79b5c3e01e8d34c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n *** QuickLaTeX cannot compile formula:\n\\begin{array}{l}P(X < a) = F(a^-)\\\\[2ex] P(X>a)=1-F(a)\\\\[2ex]P(X \\ge a )=1-F(a^-)\\\\[2ex]P(a<ul><li> Finally, if the statistical variable is continuous, the following equality is satisfied: <\/li><\/ul>[latex ]\\begin{array}{l}P(a \\le X < b) = \\displaystyle\\int_{a}^{b}f(x)\\,dx = F(b)- F(a)\\end{array}\n\n*** Error message:\nMissing $ inserted.\nleading text: \\begin{array}{l}\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ... the statistical variable is continuous, the\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...iable statistic is continuous, equality\n\\begin{array} on input line 8 ended by \\end{document}.\nleading text: \\end{document}\nImproper \\prevdepth.\nleading text: \\end{document}\nMissing $ inserted.\nleading text: \\end{document}\nMissing } inserted.\nleading text: \\end{document}\nMissing \\cr inserted.\nleading text: \\end{document}\nMissing $ inserted.\nleading text: \\end{document}\nYou can't use `\\end' in internal vertical mode.\nleading text: \\end{document}\n\\begin{array} on input line 8 ended by \\end{document}.\nleading text: \\end{document}\n\n<\/pre>\n<\/span> Funkcja rozk\u0142adu i funkcja g\u0119sto\u015bci<\/span><\/h2>\n
![\"r\u00f3\u017cnica](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/fonction-de-distribution-et-fonction-de-densite.png\")
<\/figure>\n<\/div>\n